Esistenza di una successione crescente convergente al \(\sup\)

[retrocomputer]

Dovrei dimostrare che se \(\alpha=\sup(A)\), allora esiste una successione di elementi di $A$ che converge crescendo verso $\alpha$.

Ora, trovare una successione che converge non sembra difficilissimo, sfruttando la seguente caratterizzazione del \(\sup\):

- $x\leq\alpha$ per ogni $x\inA$;
- per ogni $\epsilon>0$ esiste $x\in A$ tale che $x>\alpha-\epsilon$,

prendendo per ogni $n$, cioè per $\epsilon=1/n$, $x_n$ tale che $x_n>\alpha-1/n$, e quindi $\alpha-1/n
Ma per trovarla crescente?

Pensavo di considerare due casi per definire $x_{n+1}$:

se $x_n<\alpha-1/{n+1}$ procedo come sopra, altrimenti prendo $\epsilon=\alpha-x_n$ e trovo che esiste $x_{n+1}>\alpha-(\alpha-x_n)=x_n>\alpha-1/{n+1}$.

Che ne dite?

[Seneca1]

Se $\text{sup}(A) \in A$, allora prendi la successione costante $\alpha$ che è non decrescente.
Altrimenti, usando la caratterizzazione che hai citato, prendi $x_1 \in A$ e definisci $x_n$ prendendo $\epsilon_n = \frac{1}{2} ( \alpha - x_{n-1} ) $. Confermami che è la risposta che cercavi...

[retrocomputer]

Sì, OK, grazie!

Ora bisognerebbe provare che la successione converge ad $\alpha$... La prima che ho fatto si vede subito con la definizione di successione convergente, mentre questa...