Esistenza derivate parziali ....
Ragazzi c'è questo esercizio che mi fa sovvenire qualche dubbio . Data la funzione $ RR^2 -> RR $ $ f(x,y)=|xy| $ si chiede per quali punti esistono le derivate parziali . Beh ho pensato di agire in questo modo : prima fisso y ( a mo di costante ) è quella che ottengo sarà $ |y||x| $ derivabile in tutti i punti eccetto nell'origine . Se la stessa cosa la si fa per per x costante si ottiene il medesimo risultato . Considerando che nell'origine la funzione è costantemente uguale a zero , si ha che le derivate parziali non esistono in tutti i punti di ascissa nulla od ordinata nulla . Che ne dite ???
Risposte
Beh, nell'origine esistono.
Io ho un pò di problemi con questo valore assoluto,menale perchè non espliciti tutti i calcoli?
@Rigel - Certo in (0,0) esistono , io per origine intende i punti del tipo (x,0) ed (0,y) ! 
P.S. ho utilizzato il termine origine dato che fissando la y la funzione lo considerata come definita da $ RR -> RR $ ! Chiedo scusa per la poca chiarezza !
"menale":
@Rigel - Certo in (0,0) esistono , io per origine intende i punti del tipo (x,0) ed (0,y) !
L'origine è $(0,0)$. Quei punti sono gli assi coordinati. E in ogni caso, a me pare che $f_x(x,0)=f_y(x,0)=f_x(0,y)=f_y(0,y)=0,\ \forall\ x,\ y\in RR$ (calcolando con la definizione).
"ciampax":
da ciampax » 17 ott 2011 14:47
Certo che l'origini è $ (0,0) $ non lo metto altresì in dubbio
. Comunque non credi che i punti in questioni siano quelli degli assi coordinati ?
Ah no, aspetta ma la funzione è questa $f(x,y)=|xy|$... e io perché ci avevo visto un $+$? Ok, mi sono definitivamente rincoglionito! Sorry!
Di nulla ciampax . Confermi dunque quanto da me sostenuto ?
Mi sembra che allora venga così:
$f_x(a,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h,0)-f(a,0)}{h}=0,\qquad f_y(a,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a,h)-f(a,0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{|ah|}{h}=\pm|a|$
$f_y(0,a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0,a+h)-f(0,a)}{h}=0,\qquad f_x(0,a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,a)-f(0,a)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{|ah|}{h}=\pm|a|$
per cui sugli assi hai problemi (alternativamente, una derivata esiste e l'altra no), mentre le derivate esistono nell'origine.
$f_x(a,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h,0)-f(a,0)}{h}=0,\qquad f_y(a,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a,h)-f(a,0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{|ah|}{h}=\pm|a|$
$f_y(0,a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0,a+h)-f(0,a)}{h}=0,\qquad f_x(0,a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,a)-f(0,a)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{|ah|}{h}=\pm|a|$
per cui sugli assi hai problemi (alternativamente, una derivata esiste e l'altra no), mentre le derivate esistono nell'origine.
OK , allora convieni con quanto da me sostenuto inizialmente !
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