Esistenza derivata

[Bubbagumpgump]

Salve a tutti, mi sono trovato davanti a questo quesito:

Sia $D$ aperto in $R$ con $x_0$ appartenente a $D$. Supponiamo che $f$ sia derivabile in $D/x_0$ e che il limite per $x -> x_0$ NON ESISTE. Possiamo concludere che $f^1(x_0)$ non esiste? Giustificare.

Premetto che io mi faccio confusione in questo punto: "il limite per $x -> x_0$ NON ESISTE" in quanto non capisco se si riferisce al limite di $f$ o di $f^1$.
Grazie in anticipo a tutti.

[Rigel1]

Immagino si riferisca al limite di $f'$.
Nel dubbio, puoi comunque considerare entrambi i casi

[dissonance]

Questa domanda (supponendo che il testo preveda che il limite di \(f'(x)\) non esista) serve a disinnescare una convinzione errata purtroppo molto diffusa.

[Bubbagumpgump]

"Rigel":Immagino si riferisca al limite di $f'$.
Nel dubbio, puoi comunque considerare entrambi i casi

Ma nel caso in cui si intenda limite di $f^1$ mi devo chiedere: esiste la derivata di una funzione in un punto $x_0$ sapendo che lì la funzione non è derivabile?
Io risponderei di no, che $f^1(x_0)$ non esiste, solo che non mi viene in mente nessun esempio concreto che mi assicuri che sia così.

[Rigel1]

"Bubbagumpgump":Ma nel caso in cui si intenda limite di $f^1$ mi devo chiedere: esiste la derivata di una funzione in un punto $x_0$ sapendo che lì la funzione non è derivabile?
Io risponderei di no, che $f^1(x_0)$ non esiste, solo che non mi viene in mente nessun esempio concreto che mi assicuri che sia così.

La domanda non è quella. Sapere che la funzione è derivabile in $D\setminus\{x_0\}$ non implica che la funzione non sia derivabile in $x_0$; semplicemente in $x_0$ non hai alcuna informazione.
Comunque, $f'(x_0)$ può tranquillamente esistere anche se non esiste $\lim_{x\to x_0} f'(x)$; prova a vedere se riesci a fare un esempio.

[Bubbagumpgump]

"dissonance":Questa domanda (supponendo che il testo preveda che il limite di \(f'(x)\) non esista) serve a disinnescare una convinzione errata purtroppo molto diffusa.

una convinzione errata purtroppo molto diffusa è quella citata da Rigel?

"Rigel":Sapere che la funzione è derivabile in $D∖{x_0 }$ non implica che la funzione non sia derivabile in $x_0$ ; semplicemente in $x_0$ non hai alcuna informazione.

[Rigel1]

La convinzione molto diffusa ha a che vedere con questa affermazione:

"Rigel":$f'(x_0)$ può tranquillamente esistere anche se non esiste $\lim_{x\to x_0} f'(x)$; prova a vedere se riesci a fare un esempio.

Quella che citi tu è un'altra credenza tanto falsa quanto diffusa:

$[A => B]$ implica $[non(A) => non(B)]$.

[Bubbagumpgump]

Tuttavia non mi torna come possa esistere la derivata in un punto se il limite della derivata in tale punto non esiste

[Rigel1]

Prova a fare qualche conto su questa funzione (il punto incriminato è $x_0=0$):
\[
f(x) = \begin{cases}
x^2\sin(1/x), & se\ x\neq 0,\\
0, & se\ x = 0.
\end{cases}
\]