Esistenza dell'operatore coniugato su spazio di Hilbert
Ciao, amici! Sto cercando di verificare che, come dice Tikhomirov nell'appendice al Kolmogorov-Fomin, per ogni \(A\in\mathscr{L}(H,H)\), con $H$ spazio di Hilbert, anche il coniugato \(A^\ast\) esiste in \(\mathscr{L}(H,H)\).
Qualcuno conosce una dimostrazione di ciò?
$\infty$ grazie a tutti!
Qualcuno conosce una dimostrazione di ciò?
$\infty$ grazie a tutti!
Risposte
Come hai definito \(A^\star\)?
Per far vedere che se $A$ è limitato lo è anche \( A^\star\), basta applicare le definizioni:
\[
\Vert A^\star y \Vert = \sup_{\Vert x \Vert = 1} \vert \langle x,A^\star y \rangle \vert = \sup_{\Vert x \Vert = 1} \vert \langle Ax, y \rangle \vert \le \Vert A \Vert \Vert y \Vert.
\]
Per far vedere che se $A$ è limitato lo è anche \( A^\star\), basta applicare le definizioni:
\[
\Vert A^\star y \Vert = \sup_{\Vert x \Vert = 1} \vert \langle x,A^\star y \rangle \vert = \sup_{\Vert x \Vert = 1} \vert \langle Ax, y \rangle \vert \le \Vert A \Vert \Vert y \Vert.
\]
Sì, ma mi chiedevo come posso sapere che esiste una cosa, che chiamiamo \(A^\star\), che applica $H$ in $H$ che ha le proprietà di linearità e tale che \(\langle Ax,y\rangle=\langle x, A^\star y\rangle\).
La tua domanda su come definisco \(A^\star\) mi ha fatto pensare che ad ogni operatore \(A\in\mathscr{L}(H,H)\) corrisponde l'operatore aggiunto \(H^\star\to H^\star, f\mapsto f\circ A\), che so corrispondere ad un operatore \(A^\star\in\mathscr{L}(H,H)\) che soddisfa \(\langle Ax,y\rangle=\langle x, A^\star y\rangle\).
$\infty$ grazie, Paolo!!!
La tua domanda su come definisco \(A^\star\) mi ha fatto pensare che ad ogni operatore \(A\in\mathscr{L}(H,H)\) corrisponde l'operatore aggiunto \(H^\star\to H^\star, f\mapsto f\circ A\), che so corrispondere ad un operatore \(A^\star\in\mathscr{L}(H,H)\) che soddisfa \(\langle Ax,y\rangle=\langle x, A^\star y\rangle\).
$\infty$ grazie, Paolo!!!
Mi è sorto un interrogativo più generale. Senza poter ricorrere all'isomorfismo \(H\simeq H^\star\), possiamo affermare che l'operatore coniugato di $A:E\to E$ dove $E$ è uno spazio euclideo esiste sempre? Per operatore coniugato intendo \(A^\star\) tale che \(\langle Ax,y\rangle=\langle x,A^\star y\rangle\).
Dimsotrata l'esistenza, direi che sia l'operatore coniugato definito come sopra per uno spazio euclideo, sia quello definito per \(A:E\to E_1\) come \(A^\star: E_1^\star\to E^\star\), \(f\mapsto f\circ A\), sono unici (come mi sembra di aver provato facilmente a me stesso utilizzando rispettivamente le proprietà del prodotto scalare e di $f\ne 0$): giusto?
$\infty$ grazie a tutti!
Dimsotrata l'esistenza, direi che sia l'operatore coniugato definito come sopra per uno spazio euclideo, sia quello definito per \(A:E\to E_1\) come \(A^\star: E_1^\star\to E^\star\), \(f\mapsto f\circ A\), sono unici (come mi sembra di aver provato facilmente a me stesso utilizzando rispettivamente le proprietà del prodotto scalare e di $f\ne 0$): giusto?
$\infty$ grazie a tutti!
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