Esistenza del prodotto scalare associato ad una norma
Salve a tutti! Rileggendo la teoria di analisi 2 mi è venuto un dubbio non banale:
Il professore ha detto che uno spazio dotato di prodotto scalare è uno spazio normato. Tuttavia l'esistenza di una norma non implica che esista un prodotto scalare associato a quella data norma. E fin qui ci sono...
Subito dopo lui enuncia una condizione necessaria e sufficiente per dire che una norma implica l'esistenza di un prodotto scalare associato, solo che questa cosa per me non sta nè in cielo nè in terra, in quanto implicherebbe che lo stesso $RR$ non sia dotato di prodotto scalare o.O
Ecco la relazione:
$ ||x+y||^2 = 2||x||^2 + 2||y||^2 $
Ho controllato anche dagli appunti di un collega ma la relazione è proprio questa. Avrà sbagliato alla lavagna? Sapete dirmi qualcosa di più?
Il professore ha detto che uno spazio dotato di prodotto scalare è uno spazio normato. Tuttavia l'esistenza di una norma non implica che esista un prodotto scalare associato a quella data norma. E fin qui ci sono...
Subito dopo lui enuncia una condizione necessaria e sufficiente per dire che una norma implica l'esistenza di un prodotto scalare associato, solo che questa cosa per me non sta nè in cielo nè in terra, in quanto implicherebbe che lo stesso $RR$ non sia dotato di prodotto scalare o.O
Ecco la relazione:
$ ||x+y||^2 = 2||x||^2 + 2||y||^2 $
Ho controllato anche dagli appunti di un collega ma la relazione è proprio questa. Avrà sbagliato alla lavagna? Sapete dirmi qualcosa di più?
Risposte
Secondo me manca un [tex]$+\lVert x-y\rVert^2$[/tex] al primo membro.
Credo vi volesse indicare la classica uguaglianza del parallelogramma (in un parallelogramma la somma dei quadrati costruiti sulle diagonali è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui quattro lati).
Credo vi volesse indicare la classica uguaglianza del parallelogramma (in un parallelogramma la somma dei quadrati costruiti sulle diagonali è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui quattro lati).
Ehhm
la relazione giusta (regola del parallelogramma) è questa
$||x+y||^2+||x-y||^2=2||x||^2+2||y||^2$
ACH Gugo mi ha preceduto
la relazione giusta (regola del parallelogramma) è questa
$||x+y||^2+||x-y||^2=2||x||^2+2||y||^2$
ACH Gugo mi ha preceduto
Così la cosa torna! Grazie gugo.
Ma allora è questa una condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza di un prodotto scalare associato o no?
Ne approfitto per chiederti un'altra cosa. Ho un pò di confusione riguardo ai concetti di norma e di prodotto scalare. In generale posso inventare un mio prodotto scalare ed una mia norma, a mio piacimento? Normalmente utilizziamo la norma euclidea $ ||x|| = sqrt( )$ anche se ne posso inventare altre, tecnicamente, basta che rispetti le condizioni:
1) $||x|| >= 0 forall x \in S$
2) $||x|| = 0 <=> x=0$
3) $ ||\alphax|| = |\alpha| ||x|| $
4) disuguaglianza triangolare.
Per quanto riguarda il prodotto scalare, io pensavo fosse univoco, il solito ( non saprei come formalizzarlo matematicamente ). Tuttavia questa parte del programma mi suggerisce che non è così e che tecnicamente potrei inventare il mio prodotto scalare. E' esatta come cosa?
EDITR: grazia anche a te vicious! doppia conferma
Ma allora è questa una condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza di un prodotto scalare associato o no?
Ne approfitto per chiederti un'altra cosa. Ho un pò di confusione riguardo ai concetti di norma e di prodotto scalare. In generale posso inventare un mio prodotto scalare ed una mia norma, a mio piacimento? Normalmente utilizziamo la norma euclidea $ ||x|| = sqrt(
1) $||x|| >= 0 forall x \in S$
2) $||x|| = 0 <=> x=0$
3) $ ||\alphax|| = |\alpha| ||x|| $
4) disuguaglianza triangolare.
Per quanto riguarda il prodotto scalare, io pensavo fosse univoco, il solito ( non saprei come formalizzarlo matematicamente ). Tuttavia questa parte del programma mi suggerisce che non è così e che tecnicamente potrei inventare il mio prodotto scalare. E' esatta come cosa?
EDITR: grazia anche a te vicious! doppia conferma
Questa si chiama "identità del parallelogramma" ma ti sei mangiato un pezzo.
http://planetmath.org/encyclopedia/Para ... mLaw2.html
Si dimostra che vale l'identità del parallelogramma se e solo se la norma è indotta da un prodotto scalare: vedi qui, nelle prime righe della pagina, per l'enunciato.
EDIT: Alla faccia, mentre scrivevo avete risposto in 3!!!
http://planetmath.org/encyclopedia/Para ... mLaw2.html
Si dimostra che vale l'identità del parallelogramma se e solo se la norma è indotta da un prodotto scalare: vedi qui, nelle prime righe della pagina, per l'enunciato.
EDIT: Alla faccia, mentre scrivevo avete risposto in 3!!!
Per inventare un altro prodotto scalare basta che prendi una qualsiasi matrice [tex]$A$[/tex] simmetrica definita positiva e poni:
[tex]$\langle x,y\rangle_A := x\ A\ y^t$[/tex];
la norma indotta sarà [tex]$\lVert x\rVert_A :=\sqrt{\langle x,y\rangle_A}$[/tex], ovviamente.
Il caso più semplice è quello in cui prendi [tex]$A$[/tex] diagonale con gli elementi della diagonale principale tutti positivi.
La cosa bella è che la norma euclidea di [tex]$\mathbb{R}^N$[/tex] è equivalente ad ogni altra norma (anche non indotta da prodotto scalare); quindi qualunque cosa tu riesci a dimostrare in [tex]$\mathbb{R}^N$[/tex] euclideo vale anche se su [tex]$\mathbb{R}^N$[/tex] metti un'altra norma.
P.S.: Anche se mi pare ti sia stato detto, noto che ci sono norme che non derivano da prodotti scalari; l'esempio fesso è la norma del massimo [tex]$\lVert x\rVert_\infty :=\max \{ |x_1|,\ldots ,|x_N|\}$[/tex] (qui [tex]$x=(x_1,\ldots ,x_N)$[/tex]), poichè è semplicissimo constatare che essa non soddisfa l'identità del parallelogramma (prendi ad esempio [tex]$x=(1,0,\ldots ,0), y=(0,\ldots ,0,1)\in \mathbb{R}^N$[/tex]).
[tex]$\langle x,y\rangle_A := x\ A\ y^t$[/tex];
la norma indotta sarà [tex]$\lVert x\rVert_A :=\sqrt{\langle x,y\rangle_A}$[/tex], ovviamente.
Il caso più semplice è quello in cui prendi [tex]$A$[/tex] diagonale con gli elementi della diagonale principale tutti positivi.
La cosa bella è che la norma euclidea di [tex]$\mathbb{R}^N$[/tex] è equivalente ad ogni altra norma (anche non indotta da prodotto scalare); quindi qualunque cosa tu riesci a dimostrare in [tex]$\mathbb{R}^N$[/tex] euclideo vale anche se su [tex]$\mathbb{R}^N$[/tex] metti un'altra norma.
P.S.: Anche se mi pare ti sia stato detto, noto che ci sono norme che non derivano da prodotti scalari; l'esempio fesso è la norma del massimo [tex]$\lVert x\rVert_\infty :=\max \{ |x_1|,\ldots ,|x_N|\}$[/tex] (qui [tex]$x=(x_1,\ldots ,x_N)$[/tex]), poichè è semplicissimo constatare che essa non soddisfa l'identità del parallelogramma (prendi ad esempio [tex]$x=(1,0,\ldots ,0), y=(0,\ldots ,0,1)\in \mathbb{R}^N$[/tex]).
Si, questo esempio l'ha usato il mio prof, grande!
Grazie di tutto ragazzi!
Grazie di tutto ragazzi!
Allora potresti provare anche quest'altro:
[tex]$\lVert x\rVert_p := \left\{ \sum_{n=1}^N |x_n|^p\right\}^\frac{1}{p}$[/tex].
[tex]$\lVert x\rVert_p := \left\{ \sum_{n=1}^N |x_n|^p\right\}^\frac{1}{p}$[/tex].
Non apro un altro topic perchè non ne varrebbe la pena, comunque ci tenevo a ringraziare gli utenti tutti ed i grandi gugo e dissonance per le loro perle di saggezza!
Ho imparato molto da tutti quanti, ed oggi mi sono dato Analisi 2 con 26!! ( ok, non è sto gran voto, ma credetemi che col mio professore è stato un 26 super sudato! )
Spero di poter tornare utile a voi come voi siete stati utili a me nel corso di quest'anno
Finalmente inizia la mia estataeeee Buona estate a voi tutti!
Ho imparato molto da tutti quanti, ed oggi mi sono dato Analisi 2 con 26!! ( ok, non è sto gran voto, ma credetemi che col mio professore è stato un 26 super sudato! )
Spero di poter tornare utile a voi come voi siete stati utili a me nel corso di quest'anno
Finalmente inizia la mia estataeeee
Buona estate a voi tutti!
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