Esistenza del minimo in Z
Buonasera ragazzi. Stavo cercando di capire la dimostrazione dell'esistenza del minimo in Z aggiungendo una proprietà nel teorema dell'esistenza del minimo in N. Il mio prof. l'ha spiegata nel seguente modo:
"In Z il principio di buon ordinamento non vale. Ci sono sottoinsiemi di Z che non hanno minimo, come Z sottoinsieme improprio di se stesso. Non c'è in Z un elemento più piccolo di tutti gli altri. Quindi il principio di ordinamento cade solo in N.
Per ottenere qualcosa di simile dentro Z dobbiamo aggiungere qualche proprietà:
$ H sube ZZ $ con $ H!=O/ $ ed esiste un numero intero relativo $ z_0 $ tale che è il più piccolo o uguale comunque preso un elemento in $ H $ ($ z<=H AA h in H $).
Dimostrazione.
Mie considerazioni scritte in verde.
//Ho messo il cancelletto perché non posso mettere " * ".
consideriamo $ H^#={h_0-(z_0-1) : h in H} $ //insieme traslato in $ NN $ *.
/*Significa che per ogni h preso sottraggo sempre la stessa quantità.
$ z_0 -1 $ essendo differenza di numeri interi risulterà sempre un numero intero.
Inoltre $ h_0-(z_0-1)=h_0-z_0+1 $ è sempre un numero positivo. Perché $ h_0-z_0 $ o è zero o è positivo. Se aggiungo $ 1 $ ottengo sempre un numero positivo.*/
Quindi $ H^# $ è un sottoinsieme di $ NN : H^# sube NN rArr EE n_0 in H^# : n_0<=p AA p in H^# $
Per il teorema precedente (esistenza del minimo in $ NN $) sappiamo che un sottoinsieme dei naturali ha minimo.
/* $ n_0 in H^# $ vuol dire che $ EE h_0 in H : n_0=h_0-(z_0-1) $. Da qui in poi non capisco praticamente come fa a dire che ci sia il minimo...*/
$ n_0=h_0-(z_0-1) lArr rArr h_0=n_0+z_0-1 $ e poi abbiamo che $ n_0<=p AA p in H^# $ cioè $ n_0<=h_0-(z_0-1) AA h in H $ da qui ho che $ n_0+z_0<=h_0 AA h_0 in H $
$ h_0=n_0+z_0-1 $ essendo il più piccolo di $ H $ ed essendo proprio in $ H $ esso è il minimo.
Sono riuscito a ricavare delle informazioni (quelle scritte in verde) ma non riesco proprio a carpire la conclusione della dimostrazione.
"In Z il principio di buon ordinamento non vale. Ci sono sottoinsiemi di Z che non hanno minimo, come Z sottoinsieme improprio di se stesso. Non c'è in Z un elemento più piccolo di tutti gli altri. Quindi il principio di ordinamento cade solo in N.
Per ottenere qualcosa di simile dentro Z dobbiamo aggiungere qualche proprietà:
$ H sube ZZ $ con $ H!=O/ $ ed esiste un numero intero relativo $ z_0 $ tale che è il più piccolo o uguale comunque preso un elemento in $ H $ ($ z<=H AA h in H $).
Dimostrazione.
Mie considerazioni scritte in verde.
//Ho messo il cancelletto perché non posso mettere " * ".
consideriamo $ H^#={h_0-(z_0-1) : h in H} $ //insieme traslato in $ NN $ *.
/*Significa che per ogni h preso sottraggo sempre la stessa quantità.
$ z_0 -1 $ essendo differenza di numeri interi risulterà sempre un numero intero.
Inoltre $ h_0-(z_0-1)=h_0-z_0+1 $ è sempre un numero positivo. Perché $ h_0-z_0 $ o è zero o è positivo. Se aggiungo $ 1 $ ottengo sempre un numero positivo.*/
Quindi $ H^# $ è un sottoinsieme di $ NN : H^# sube NN rArr EE n_0 in H^# : n_0<=p AA p in H^# $
Per il teorema precedente (esistenza del minimo in $ NN $) sappiamo che un sottoinsieme dei naturali ha minimo.
/* $ n_0 in H^# $ vuol dire che $ EE h_0 in H : n_0=h_0-(z_0-1) $. Da qui in poi non capisco praticamente come fa a dire che ci sia il minimo...*/
$ n_0=h_0-(z_0-1) lArr rArr h_0=n_0+z_0-1 $ e poi abbiamo che $ n_0<=p AA p in H^# $ cioè $ n_0<=h_0-(z_0-1) AA h in H $ da qui ho che $ n_0+z_0<=h_0 AA h_0 in H $
$ h_0=n_0+z_0-1 $ essendo il più piccolo di $ H $ ed essendo proprio in $ H $ esso è il minimo.
Sono riuscito a ricavare delle informazioni (quelle scritte in verde) ma non riesco proprio a carpire la conclusione della dimostrazione.
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