Esistenza del massimo di una funzione integrale parametrica
Sto avendo dei problemi con questo esercizio
non tanto con il punto a) poichè con poche stime si vede subito che l'integrale converge per $\alpha >1$ quanto con il punto b)
L'unica idea che ho in mente per dimostrare quanto richiesto è trovare i valori di $\alpha$ tali che $\phi_\alpha (1)> \lim_{R \to \infty} \phi_\alpha(R)$ ma è più facile a dirsi che a farsi.
Altra idea che ho avuto è quella di imporre $\frac{d \phi_\alpha}{dR}=0$ ma non credo sia la strada giusta in quanto questa condizione vale anche per punti di minimo e di flesso orizzontale (e tra l'altro non sono neanche conti banali visto che rimane comunque l'integrale in dy)
Ci sarebbe qualche strada più sensata o fattibile da percorrere?
non tanto con il punto a) poichè con poche stime si vede subito che l'integrale converge per $\alpha >1$ quanto con il punto b)
L'unica idea che ho in mente per dimostrare quanto richiesto è trovare i valori di $\alpha$ tali che $\phi_\alpha (1)> \lim_{R \to \infty} \phi_\alpha(R)$ ma è più facile a dirsi che a farsi.
Altra idea che ho avuto è quella di imporre $\frac{d \phi_\alpha}{dR}=0$ ma non credo sia la strada giusta in quanto questa condizione vale anche per punti di minimo e di flesso orizzontale (e tra l'altro non sono neanche conti banali visto che rimane comunque l'integrale in dy)
Ci sarebbe qualche strada più sensata o fattibile da percorrere?
Risposte
Se l'integrale del punto $(a)$ converge, qual è $\lim_{R->+\infty}\phi_\alpha (R)$?
Se non converge il gioco si fa più difficile, ma in qualche modo si dovrebbe riuscire a fare, hai provato con Fubini-Tonelli (potresti averlo chiamato formula di riduzione forse)?
Se non converge il gioco si fa più difficile, ma in qualche modo si dovrebbe riuscire a fare, hai provato con Fubini-Tonelli (potresti averlo chiamato formula di riduzione forse)?
Un' idea per calcolare $ \lim_{R \to \infty} \phi_\alpha (R)$ sarebbe, per $\alpha \ne 1$
$$0 \leq \int_R^{2R} \, dx \, \int_0^1 \, dy \, \frac{\arctan(xy)}{x^\alpha+y^\alpha} \leq \int_R^{2R} \, dx \, \int_0^1 \, dy \, \frac{\pi}{2(x^\alpha+y^\alpha)} \leq \int_R^{2R} \, dx \, \int_0^1 \, dy \, \frac{\pi}{2(x^\alpha)} =\int_R^{2R} \, dx \, \frac{\pi}{2(x^\alpha)} = \frac{\pi R^{1-\alpha}}{2(1-\alpha)} (2^{1-\alpha}-1) $$
Quindi per $\alpha>1$ si ha $ \lim_{R \to \infty} \phi_\alpha (R)=0 $ e poichè $\phi_\alpha(1)>0$ per $\alpha >1$ allora $\phi_\alpha(R)$ ha massimo.
Questo basta per dimostrare che per $\alpha >1$ esiste un massimo?
In ogni caso questo non ci dice nulla per $0<\alpha \leq 1$ , cosa si può dire per questi valori di $\alpha$?
$$0 \leq \int_R^{2R} \, dx \, \int_0^1 \, dy \, \frac{\arctan(xy)}{x^\alpha+y^\alpha} \leq \int_R^{2R} \, dx \, \int_0^1 \, dy \, \frac{\pi}{2(x^\alpha+y^\alpha)} \leq \int_R^{2R} \, dx \, \int_0^1 \, dy \, \frac{\pi}{2(x^\alpha)} =\int_R^{2R} \, dx \, \frac{\pi}{2(x^\alpha)} = \frac{\pi R^{1-\alpha}}{2(1-\alpha)} (2^{1-\alpha}-1) $$
Quindi per $\alpha>1$ si ha $ \lim_{R \to \infty} \phi_\alpha (R)=0 $ e poichè $\phi_\alpha(1)>0$ per $\alpha >1$ allora $\phi_\alpha(R)$ ha massimo.
Questo basta per dimostrare che per $\alpha >1$ esiste un massimo?
In ogni caso questo non ci dice nulla per $0<\alpha \leq 1$ , cosa si può dire per questi valori di $\alpha$?
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