Esistenza del limite e relative implicazioni
Salve! Ho un problemino che non riesco a risolvere:
Sia $f:[0, oo[ -> R$ una funzione monotona decrescente e non negativa. Si sa che l'integrale
$int_0^oo f(t)dt$ esiste. Si chiede di dimostrare o contraddire le seguenti affermazioni:
- Esiste una costante $C>=0$ così che $ f(t)<= C/t$ per qualunque $t>0$
- Esiste anche l'integrale $int_0^oo ( f(t))^2dt$
- La precedente affermazione vale anche quando si sostituisce [0, oo[ con ]0, oo[ ( quando si ha quindi $f:]0, oo[ -> R)
Sia $f:[0, oo[ -> R$ una funzione monotona decrescente e non negativa. Si sa che l'integrale
$int_0^oo f(t)dt$ esiste. Si chiede di dimostrare o contraddire le seguenti affermazioni:
- Esiste una costante $C>=0$ così che $ f(t)<= C/t$ per qualunque $t>0$
- Esiste anche l'integrale $int_0^oo ( f(t))^2dt$
- La precedente affermazione vale anche quando si sostituisce [0, oo[ con ]0, oo[ ( quando si ha quindi $f:]0, oo[ -> R)
Risposte
La prima mi pare sia falsa: è facile costruire una funzione con le proprietà volute che taglia un ramo di $C/t$.
La seconda invece è vera, poichè l'integrale improprio c'è solo in $+\infty$, ed essendo $f$ monotona ammette limite per $x \to +\infty$ che non può che essere $0$; dunque si ha $f^2 \leq f$ definitivamente il che risponde affermativamente alla seconda domanda.
La terza è falsa; basta prendere $f=1/(\sqrt x)$ vicino a $0$.
La seconda invece è vera, poichè l'integrale improprio c'è solo in $+\infty$, ed essendo $f$ monotona ammette limite per $x \to +\infty$ che non può che essere $0$; dunque si ha $f^2 \leq f$ definitivamente il che risponde affermativamente alla seconda domanda.
La terza è falsa; basta prendere $f=1/(\sqrt x)$ vicino a $0$.
"Luca.Lussardi":
La prima mi pare sia falsa: è facile costruire una funzione con le proprietà volute che taglia un ramo di $C/t$.
La seconda invece è vera, poichè l'integrale improprio c'è solo in $+\infty$, ed essendo $f$ monotona ammette limite per $x \to +\infty$ che non può che essere $0$; dunque si ha $f^2 \leq f$ definitivamente il che risponde affermativamente alla seconda domanda.
La terza è falsa; basta prendere $f=1/(\sqrt x)$ vicino a $0$.
Sulla terza ok, ci sono!
La seconda mi sfugge un po' il $f^2 \leq f$
La prima, non riesco a trovare un esempio! Anche perché ci era stato detto di usare il fatto che era monotona decrescente per scrivere una disegualianza con l'integrale!
$f^2\leq f$ deriva dal fatto che $f \to 0$ per $x \to +\infty$, quindi prima o poi sta sotto $1$. ($x^2\leq x$ se $x\leq 1$).
Per la prima ho interpretato male il testo: forse se si chiede che data $f$ esiste una costante $C>0$ tale che... allora sì, potrebbe essere vero, a intuito.
Per la prima ho interpretato male il testo: forse se si chiede che data $f$ esiste una costante $C>0$ tale che... allora sì, potrebbe essere vero, a intuito.
Sì, è la disuguaglianza di Chebyshev infatti che te lo dice; in base a quella hai che $f^(-1)(t)\leq C/t$ per ogni $t>0$, da cui facilmente concludi.
"Luca.Lussardi":
Sì, è la disuguaglianza di Chebyshev infatti che te lo dice; in base a quella hai che $f^(-1)(t)\leq C/t$ per ogni $t>0$, da cui facilmente concludi.
Ottimo, ma cme puoi fare per dimostrarlo?
La disuguaglianza di Chebyshev applicata in tal caso ti dice che se $f$ ha integrale finito su $[0,+\infty)$ allora $|{x \in [0,+\infty) : f(x)>t}|\leq 1/t \int_0^{+\infty}f(x)dx$. Per monotonia hai che $|{x \in [0,+\infty) : f(x)>t}|=f^(-1)(t)$.
"Luca.Lussardi":
La disuguaglianza di Chebyshev applicata in tal caso ti dice che se $f$ ha integrale finito su $[0,+\infty)$ allora $|{x \in [0,+\infty) : f(x)>t}|\leq 1/t \int_0^{+\infty}f(x)dx$. Per monotonia hai che $|{x \in [0,+\infty) : f(x)>t}|=f^(-1)(t)$.
il problema è che noi a scuola quella disuguaglianza non l'abbiamo vista!
In effetti ho sparato cannonate alle zanzare; scusami, sarà l'influenza che ho addosso.... basta che prendi $x \in [0,+\infty)$ e consideri il rettangolo di base $[0,x]$ e altezza $f(x)$; tale rettangolo ha area $xf(x)$ che sta sotto, per monotonia di $f$, ad $\int_0^{+\infty}f(x)dx$, per cui concludi facilmente.
Vedo con piacere che non sono l'unico ad avere problemi con questo esercizio!
Tuttavia io ho una piccola domanda:
la funzione potrebbe anche essere monotona decrescente ed una volta arrivata ad un certo punto assumere un valore costante. Infatti il testo del problema dice "monotona decrescente" e non "monotona strettamente decrescente". Se il valore costante che assume è maggiore ad 1, questo ragionamento non è correttissimo al 100%. Sbaglio? (spero di si)
Tuttavia io ho una piccola domanda:
"Luca.Lussardi":
$f^2\leq f$ deriva dal fatto che $f \to 0$ per $x \to +\infty$, quindi prima o poi sta sotto $1$. ($x^2\leq x$ se $x\leq 1$).
la funzione potrebbe anche essere monotona decrescente ed una volta arrivata ad un certo punto assumere un valore costante. Infatti il testo del problema dice "monotona decrescente" e non "monotona strettamente decrescente". Se il valore costante che assume è maggiore ad 1, questo ragionamento non è correttissimo al 100%. Sbaglio? (spero di si)
Sbagli, perchè il fatto che $f$ abbia integrale finito e sia monotona implica che il suo limite deve essere $0$. Per altro anche se la funzione fosse strettamente decrescente potrebbe avere limite non nullo.
"Luca.Lussardi":
Sbagli, perchè il fatto che $f$ abbia integrale finito e sia monotona implica che il suo limite deve essere $0$. Per altro anche se la funzione fosse strettamente decrescente potrebbe avere limite non nullo.
L'ho detto che forse mi sbagliavo eheheh! Meglio così!
tuttavia ho ancora qualche problemino con
"Luca.Lussardi":
In effetti ho sparato cannonate alle zanzare; scusami, sarà l'influenza che ho addosso.... basta che prendi $x \in [0,+\infty)$ e consideri il rettangolo di base $[0,x]$ e altezza $f(x)$; tale rettangolo ha area $xf(x)$ che sta sotto, per monotonia di $f$, ad $\int_0^{+\infty}f(x)dx$, per cui concludi facilmente.
$xf(x) \leq \int_0^{+\infty} f(t)dt =c>0$ per ogni $x>0$, da cui $f(x) \leq c/x$.
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