Esiste $f(x)$?
Esiste una funzione $f: \ R \to R$, derivabile infinite volte, non nulla per la quale esista un $a \in R$ tale che $f^{(k)}(a)=0$ per ogni intero $k \geq 0$?
NOTA: $f^{(k)}(x)$ è la derivata $k-$esima di $f(x)$, dove si intende $f^{(0)}(x)=f(x)$
Grazie
NOTA: $f^{(k)}(x)$ è la derivata $k-$esima di $f(x)$, dove si intende $f^{(0)}(x)=f(x)$
Grazie
Risposte
Ciao,e benvenuto su questo Forum!
Per rispondere al tuo quesito,basta esaminare lo sviluppo in serie di Taylor d'una tal $f$,
ammesso che esista...
Saluti dal web.
Per rispondere al tuo quesito,basta esaminare lo sviluppo in serie di Taylor d'una tal $f$,
ammesso che esista...
Saluti dal web.
Ciao. Per esempio (secondo me) questa: $f(x)=1/2x*(x+|x|)$ ; è derivabile ovunque, valgono identicamente zero la funzione ed ogni sua derivata per ogni $x<0$, mentre coincide con $x^2$ per $x>=0$.
@Paliit.
E quanto vale $f''(0)$?
Comunque,rileggendo il post iniziale,hai pure buone ragioni;
io davo per implicito che l'OP intendesse "derivabile infinite volte in $RR$",
ma tutto sommato non l'ha scritto esplicitamente:
se intendeva dire $EEf^"(k)"(a)$ $AA k inNN$,direi che il tuo esempio è ottimamente costruito..
Saluti dal web.
E quanto vale $f''(0)$?
Comunque,rileggendo il post iniziale,hai pure buone ragioni;
io davo per implicito che l'OP intendesse "derivabile infinite volte in $RR$",
ma tutto sommato non l'ha scritto esplicitamente:
se intendeva dire $EEf^"(k)"(a)$ $AA k inNN$,direi che il tuo esempio è ottimamente costruito..
Saluti dal web.
@theras: hai ragione, ho assunto che la derivabilità debba essere garantita infinite volte nei punti in cui tutte le derivate si annullano e non necessariamente in $RR$, in realtà rileggendo il post iniziale forse ho sbagliato..
Grazie per le risposte!
Il mio "problema" è proprio questo: voglio dimostrare che una funzione derivabile infinite volte (e rispondente a certe altre condizioni che non mi sono molto chiare) è esprimibile come serie di Taylor.
Chiamando $P(x)$ la serie di Taylor della funzione $g(x)$, centrata in $a$ e troncata al $k-$esimo termine, per il teorema di Taylor si ha che $lim_{x \to a}\frac{g(x)-P(x)}{(x-a)^k}=0$.
La dimostrazione di ciò mi è chiara, mi è meno chiaro invece cosa accade quando $k$ tenede a $\infty$.
In che modo, cioè, posso concludere che $g(x)=\sum_{k=0}^{\infty}{frac{f^{(k)}(a)(x-a)^k}{k!}}$?
Avevo pensato che porre $f(x)=g(x)-\sum_{k=0}^{\infty}{frac{f^{(k)}(a)(x-a)^k}{k!}}$ e notare che $f^{(k)}(x)$ si annulla in $a$ per ogni intero $k>0$ mi potesse aiutare a concludere che $f(x)=0$, ma evidentemente non è così.
Potreste aiutarmi? (Non vado all'università) Grazie.
"theras":
Ciao,e benvenuto su questo Forum!
Per rispondere al tuo quesito,basta esaminare lo sviluppo in serie di Taylor d'una tal $f$,
ammesso che esista...
Saluti dal web.
Il mio "problema" è proprio questo: voglio dimostrare che una funzione derivabile infinite volte (e rispondente a certe altre condizioni che non mi sono molto chiare) è esprimibile come serie di Taylor.
Chiamando $P(x)$ la serie di Taylor della funzione $g(x)$, centrata in $a$ e troncata al $k-$esimo termine, per il teorema di Taylor si ha che $lim_{x \to a}\frac{g(x)-P(x)}{(x-a)^k}=0$.
La dimostrazione di ciò mi è chiara, mi è meno chiaro invece cosa accade quando $k$ tenede a $\infty$.
In che modo, cioè, posso concludere che $g(x)=\sum_{k=0}^{\infty}{frac{f^{(k)}(a)(x-a)^k}{k!}}$?
Avevo pensato che porre $f(x)=g(x)-\sum_{k=0}^{\infty}{frac{f^{(k)}(a)(x-a)^k}{k!}}$ e notare che $f^{(k)}(x)$ si annulla in $a$ per ogni intero $k>0$ mi potesse aiutare a concludere che $f(x)=0$, ma evidentemente non è così.
Potreste aiutarmi? (Non vado all'università) Grazie.
In generale non è vero. La funzione
\[
f(x) := \begin{cases}
e^{-1/x^2}, & x\neq 0,\\
0, & x=0,
\end{cases}
\]
è di classe \(C^{\infty}\) (cosa che si verifica con un po' di pazienza), è nulla insieme a tutte le sue derivate nell'origine, ma chiaramente non è la funzione identicamente nulla.
Esistono dei criteri di sviluppabilità in serie di Taylor per le funzioni di classe \(C^{\infty}\) che trovi su qualsiasi libro di analisi o anche in qualche vecchio post in questo forum.
\[
f(x) := \begin{cases}
e^{-1/x^2}, & x\neq 0,\\
0, & x=0,
\end{cases}
\]
è di classe \(C^{\infty}\) (cosa che si verifica con un po' di pazienza), è nulla insieme a tutte le sue derivate nell'origine, ma chiaramente non è la funzione identicamente nulla.
Esistono dei criteri di sviluppabilità in serie di Taylor per le funzioni di classe \(C^{\infty}\) che trovi su qualsiasi libro di analisi o anche in qualche vecchio post in questo forum.
@C-S.
Nota che nell'esempio di Rigel le derivate $n$-esime della funzione $f$,da lui adottata come controesempio,
non sono limitate in un intorno di $a$(nel suo caso si ha $a=0$..);
non è un caso perchè,
se aggiungi alle tue tale ipotesi di limitatezza di $f$ in un opportuno intorno(al più d'infinito..)circolare $I_(a,R)$ di $a$ avente semiampiezza $R$
(te ne basta invero una meno restrittiva,ma per ora non andiamo troppo nel tecnico..),
la $f$ sarebbe certamente sviluppabile in serie di Taylor in tal intervallo,eventualmente coincidente con $RR$:
ovvero s'avrebbe di sicuro $f(x)=sum_(n=0)^(+oo)(f^"(n)"(a))/(n"!")(x-a)^n$ $AAx in(a-R,a+R)$,
ossia nel tuo caso $f(x)=0$ $AAx inRR$..
La verifica di quanto chiedevi tu,poi,è "solo" un aggiustamento,coi dovuti accorgimenti tecnici e le ipotesi testè citate,
della Formula di Taylor nota da Analisi I(quella col resto di Lagrange):
si tratta,in tali ipotesi,di minorare opportunamente,$AAx in I_(a,R)$,
la successione $R_n(x)=|f_n(x)-sum_(k=0)^(n)(f^"(n)"(a))/(n"!")(x-a)^n$..
Non vado oltre perchè,in efetti,tale dimostrazione mi par di ricordare sia abbastanza classica,
e dovrebbe dunque esser facile da reperire:
ma se non la trovassi o avessi difficoltà d'approccio fà pure un fischio
!
Saluti dal web.
Edit:
m'accorgo ora che la sola non limitatezza delle derivate di $f$ in un opportuno intorno di $0$ non basta,
nel controesempio di Rigel
(anche perchè ero stato troppo frettoloso ad affermarla
,
in quanto guardando meglio quella funzione mi sà che è localmente limitata in $0$..),
e dunque direi che bisogna verificare come quella $f$ non soddisfi l'edizione originale del criterio in sviluppabilità in serie di Taylor
(in caso contrario non capirei davvero quale ipotesi di quest'ultimo criterio non sia soddisfatta dalla sua $f$,
visto che nel caso specifico non mi pare un problema il fatto che $domf=RR$..):
c'era da aspettarselo,vista la fonte
,che quel controesempio fosse davvero fine
(dalle mie parti si dice "camurriusu"
)!
Nota che nell'esempio di Rigel le derivate $n$-esime della funzione $f$,da lui adottata come controesempio,
non sono limitate in un intorno di $a$(nel suo caso si ha $a=0$..);
non è un caso perchè,
se aggiungi alle tue tale ipotesi di limitatezza di $f$ in un opportuno intorno(al più d'infinito..)circolare $I_(a,R)$ di $a$ avente semiampiezza $R$
(te ne basta invero una meno restrittiva,ma per ora non andiamo troppo nel tecnico..),
la $f$ sarebbe certamente sviluppabile in serie di Taylor in tal intervallo,eventualmente coincidente con $RR$:
ovvero s'avrebbe di sicuro $f(x)=sum_(n=0)^(+oo)(f^"(n)"(a))/(n"!")(x-a)^n$ $AAx in(a-R,a+R)$,
ossia nel tuo caso $f(x)=0$ $AAx inRR$..
La verifica di quanto chiedevi tu,poi,è "solo" un aggiustamento,coi dovuti accorgimenti tecnici e le ipotesi testè citate,
della Formula di Taylor nota da Analisi I(quella col resto di Lagrange):
si tratta,in tali ipotesi,di minorare opportunamente,$AAx in I_(a,R)$,
la successione $R_n(x)=|f_n(x)-sum_(k=0)^(n)(f^"(n)"(a))/(n"!")(x-a)^n$..
Non vado oltre perchè,in efetti,tale dimostrazione mi par di ricordare sia abbastanza classica,
e dovrebbe dunque esser facile da reperire:
ma se non la trovassi o avessi difficoltà d'approccio fà pure un fischio
!Saluti dal web.
Edit:
m'accorgo ora che la sola non limitatezza delle derivate di $f$ in un opportuno intorno di $0$ non basta,
nel controesempio di Rigel
(anche perchè ero stato troppo frettoloso ad affermarla
,in quanto guardando meglio quella funzione mi sà che è localmente limitata in $0$..),
e dunque direi che bisogna verificare come quella $f$ non soddisfi l'edizione originale del criterio in sviluppabilità in serie di Taylor
(in caso contrario non capirei davvero quale ipotesi di quest'ultimo criterio non sia soddisfatta dalla sua $f$,
visto che nel caso specifico non mi pare un problema il fatto che $domf=RR$..):
c'era da aspettarselo,vista la fonte
,che quel controesempio fosse davvero fine(dalle mie parti si dice "camurriusu"
)!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo