ESISTE C

[dennysmathprof]

Se f e' una funzione continua e [tex]\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to -\infty}f(x)=L[/tex],per ogni m>0
esistono due[tex]x_1,x_2: x_1-x_2=m \Rightarrow f(x_1)=f(x_2)[/tex]

[dan952]

Ma è un teorema o lo stai ipotizzando tu?

[gio73]

Credo che il professor Dioniso chieda di dimostrarlo.

[dennysmathprof]

esato sig/r gio e grazie mille .Lei e molto gentile.
E' da dimostrare .

[dan952]

Ci provo, ma non sarò tanto rigoroso perché mostrerò solo l'idea generale

$\mathbf {Lemma}$. Sia $f(x)$ continua t.c. $\lim_{x \rightarrow +- \infty} f(x)=L$, allora se:
$L=-\infty$ $(+\infty)$)$\exists \xi \in RR$ t.c. $f(\xi)$ è massimo (o minimo) assoluto.
$L \in RR$) $\exists \xi \in RR$ t.c. $f(\xi)$ è massimo (e/o minimo) assoluto.

Dim. $\mathbf {Teorema}$ Supponiamo p.a. che esista un $m>0$ per cui non valga il teorema. Definiamo $g(x):=f(x+m)$, si avrà dunque che $f(x)!=g(x)$, $\forall x \in RR$. Sia $f>g $ $(\forall x\in RR)$, ad esempio, per il lemma esisterà un $\xi \in RR$ di massimo assoluto, ad esempio, cioè $f(\xi)=M$, ma allora $g(\xi-m)=M \geq f(\xi-m)$ assurdo. Dunque deve esistere un $x_0$ t.c. $f(x_0)=g(x_0)$.

[gugo82]

Che poi questo \(c\) cosa sarebbe, se nell'enunciato non ve n'è traccia? Mah...

Fissiamo \(m>0\) e consideriamo la funzione continua \(\Delta (x;m) := f(x) - f(x + m)\), di modo che per acquisire la tesi basta far vedere che esiste un punto \(\xi = \xi_m \in \mathbb{R}\) tale che \(\Delta (\xi ;m)=0\).

Se \(f\) è costante, basta prendere come \(\xi\) un qualsiasi punto della retta reale, e.g. \(\xi = 0\).

Supponiamo allora che \(f\) non sia costante. In tal caso è banale notare che, nelle ipotesi poste, essa ha o massimo o minimo assoluto (eventualmente entrambi) e, senza ledere la generalità, possiamo supporre che \(f\) abbia minimo assoluto in \(x_{\min}\), i.e. che \(f(x)\geq f(x_{\min})\) per ogni \(x\in \mathbb{R}\).[nota]In caso contrario, basta considerare la funzione \(-f(x)\).[/nota] In tal caso, si ha:
\[
\begin{align}
\tag{1} \Delta (x_{\min} ; m) &= f(x_{\min}) - f(x_{\min} + m) \leq 0\\
\tag{2} \Delta (x_{\min} - m; m) &= f(x_{\min} - m) - f(x_{\min}) \geq 0
\end{align}
\]
ed, invocando il classico teorema degli zeri, da ciò e dalla continuità di \(\Delta (\cdot ;m)\) segue che esiste un punto \(\xi \in [x_{\min} - m , x_{\min}]\) tale che \(\Delta (\xi ; m) =0\).

[dennysmathprof]

Grazie tutti i amici del forum ,che hanno provatto a risolvere l'esersizio .
gugo grazie .la tua soluzione e molto vicino alla mia ,io ho usato
TEOREMA induzione matematica per dimostrare che [tex]f(x-mn) e dopo con limiti [tex]n\rightarrow +\infty[/tex]
inetto

Dionisio

[dan952]

Ma le soluzioni proposte sono accettabili?