Esersicio dalla Romania

[dennysmathprof]

Se abbiamo la funzione f, [tex]f(x)\neq 0[/tex] e f'' continua, e ancora , [tex]f^{4}(x)=f(2x)[/tex], per ogni [tex]x\in \mathbb{R} ,/// f(1)=e.[/tex]

Dobbiamo dimostrare che :

A.[tex]\displaystyle f(x)=e^{x^{2}}.[/tex]

B.[tex]f''(x)< f(x+1)-2f(x)+f(x-1)[/tex] ,per ogni [tex]x\in \mathbb{R}.[/tex]

Γ.[tex]per ogni x\in (0,1), esiste c\in (0,1)[/tex], cioe' [tex]\displaystyle \frac{f(x)-1}{x}-e+1=\frac{f''(c)\cdot (x-1)}{2}[/tex].

Δ Per ogni [tex]a,\beta \in \mathbb{R}, 0< a< \beta και x> 0,[/tex]abbiamo [tex]\displaystyle f\left ( a^{x} \right )-f\left ( \beta ^{x} \right )

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dennysmathprof

2 set 2015, 09:10

I due primi A.B. gli mando sta sera .
Provate le altre due

dennys

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dennysmathprof

3 set 2015, 06:10

Derivando [tex]2f^3(x)f'(x)=f'(2x)[/tex]e diviso [tex]f\neq 0, \Rightarrow 2\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{f'(2x)}{f(2x)}[/tex], perche' [tex]f(x)>0 ,f(x)\neq 0 ,f(1)>0)[/tex]
e abbiamo dal'ultima [tex]f(0)=1, f'(0)=0[/tex]

Se mettiamo [tex]g(x)=\frac{f'(x)}{f(x)} \Rightarrow 2g(x)=g(2x) , g'(x)=g'(2x)[/tex]e mettendo [tex]x/2 ,x/4,...x/2^n[/tex]
abbiamo multiplicando [tex]g'(x)=g'(\frac{x}{2^n})[/tex] e con limiti [tex]n \rightarrow \infty \Rightarrow[/tex], [tex]g'(x)=g'(0)=c,c\in R \Rightarrow g(x)=cx+c' \Rightarrow \frac{f'(x)}{f(x)}=cx+c' \Rightarrow f(x)=e^{x^2}[/tex]

b) Dobbiamo dimostrare [tex]2e^{x^2}(1+2x^2) perche da (1): se [tex]g(x)=e^{2x+1}+e^{1-2x}-4x^2-4, \Rightarrow g''(x)>0,g'[/tex]crescente [tex]g'(0)=0\rightarrow g'(x)>0,x>0,g'(x)<0,x<0\Rightarrow g>0[/tex]

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[dennysmathprof]

I due primi A.B. gli mando sta sera .
Provate le altre due

dennys

[dennysmathprof]

Derivando [tex]2f^3(x)f'(x)=f'(2x)[/tex]e diviso [tex]f\neq 0, \Rightarrow 2\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{f'(2x)}{f(2x)}[/tex], perche' [tex]f(x)>0 ,f(x)\neq 0 ,f(1)>0)[/tex]
e abbiamo dal'ultima [tex]f(0)=1, f'(0)=0[/tex]

Se mettiamo [tex]g(x)=\frac{f'(x)}{f(x)} \Rightarrow 2g(x)=g(2x) , g'(x)=g'(2x)[/tex]e mettendo [tex]x/2 ,x/4,...x/2^n[/tex]
abbiamo multiplicando [tex]g'(x)=g'(\frac{x}{2^n})[/tex] e con limiti [tex]n \rightarrow \infty \Rightarrow[/tex], [tex]g'(x)=g'(0)=c,c\in R \Rightarrow g(x)=cx+c' \Rightarrow \frac{f'(x)}{f(x)}=cx+c' \Rightarrow f(x)=e^{x^2}[/tex]

b) Dobbiamo dimostrare [tex]2e^{x^2}(1+2x^2) perche da (1): se [tex]g(x)=e^{2x+1}+e^{1-2x}-4x^2-4, \Rightarrow g''(x)>0,g'[/tex]crescente [tex]g'(0)=0\rightarrow g'(x)>0,x>0,g'(x)<0,x<0\Rightarrow g>0[/tex]