Esericizo di analisi reale, f in L^1

[ileniaaaaaaaaaa]

Salve a tutti! Mi rivolgo a voi e spero nel vostro aiuto per risolvere questo esercizio di analisi reale:

Sia $f\geq 0$, $f\in L^1(1,\infty)$.

Provare che se esiste $lim_(x->\infty)f(x)=c$, allora $c=0$. (assurdo)

Dare un esempio di funzione $f\geq 0$, $f\in L^1(1,\infty)$ tale che il limite superiore sia $+\infty$.

Vi ringrazio.

[gugo82]

Per il primo, prova a dimostrare il fatto (più debole) che se \(f\in L^1(1,\infty)\) allora \(\displaystyle \liminf_{x\to \infty} f(x) = 0\).
Ottenere da questo fatto quanto tu chiedi è banale.

Per il resto, prova a giustapporre tanti triangolini...

[ileniaaaaaaaaaa]

Non riesco a capire come utilizzare l'ipotesi $f \in L^1$ per dimostrare quel limite :/

[gugo82]

Per assurdo, supponi che \(\displaystyle \liminf_{x\to \infty } f(x) = \lambda > 0\). In tal caso, quanto vale \(\displaystyle \int_0^\infty f(x)\text{d} x\)?

[ileniaaaaaaaaaa]

Infinito? L'estremo di integrazione è 1?

[dan952]

"marzia.91":Infinito? L'estremo di integrazione è 1?

Errore di distrazione, voleva scrivere $\int_{1}^{+\infty}|f(x)|dx$

Ad ogni modo, supponendo che $\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)=\lambda>0$(non mi scrive limite inferiore), vuol dire che la funzione in un opportuno intorno di $+\infty$ $EE \epsilon$ t.c. la funzione $f(x)$ i trova sempre sopra ad una certa "quota" positiva $\lambda-\epsilon$ quindi $\int_{1}^{x_0}f(x)dx+\int_{x_0}^{+\infty}(\lambda-\epsilon)dx<\int_{1}^{+\infty}f(x)dx$, assurdo poiché $\int_{x_0}^{+\infty}(\lambda-\epsilon)dx$ non converge essendo $\lambda-\epsilon>0$ e costante

[ileniaaaaaaaaaa]

Grazie mille!

[ileniaaaaaaaaaa]

Un ultima cosa: anzicchè passare al limite inferiore non posso ragionare direttamente con il limite, dato che so che per ipotesi esiste? Cioè fare così:

Per assurdo sia $lim_(x->\infty)f(x)=c$, con $c\ne 0$.
Allora per defizione di limite:
$AA \epsilon > 0 EE M > 0$ t.c. se $|x|>M$ $|f(x)-c|<\epsilon$.
Allora $f(x)0$ o che
$\int_1^\infty|f(x)|dx$=$\int_1^\infty f(x)dx$<$\int_1^\infty (c+\epsilon)dx$=$+\infty$. (assurdo)

Mi chiedo se $c=0$: $\int_1^\infty \epsilondx$ quanto vale?
Vi ringrazio ancora.

[dan952]

"marzia.91":Allora f(x)0 o che
$∫_{1}^{+\infty}|f(x)|dx=∫_{1}^{+\infty}f(x)dx<∫_{1}^{+\infty}(c+ε)dx=+∞$. (assurdo)

Con tutto rispetto ma l'unica assurdità che vedo è "o" al posto di "ho".

Comunque sia, una volta mostrato che il limite inferiore deve essere necessariamente 0 hai quasi finito, infatti basta osservare che sotto l'ipotesi di esistenza del limite i limiti superiore e inferiore coincidono

[ileniaaaaaaaaaa]

mi è saltata una lettera, non me ne sono accorta

[dan952]

Tranquilla scherzo naturalmente

[gugo82]

"dan95":Comunque sia, una volta mostrato che il limite inferiore deve essere necessariamente 0 hai quasi finito, infatti basta osservare che sotto l'ipotesi di esistenza del limite i limiti superiore e inferiore coincidono

Più che altro, sotto l'ipotesi di esistenza del limite, esso coincide col minimo limite...

Per la restante parte dell'esercizio, la costruzione geometrica è semplice.
Se non la trovi, puoi leggere questo mio post di poco tempo fa.

[dan952]

@gugo
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