Esericizi su Serie di Potenze

[denny101]

Ho la seguente serie: $ sum(x+3)^(n)/(2^(n)*n^(3) $ , l'esericizio mi chiede di calcolare l'insieme di convergenza.
Ho calcolato il raggio di convergenza, che è 2. Poi l'esercizio mi dice che la serie converge per x=-5 e per x=-1, perché?
Ho, poi, quest'altra serie: $ sum(x+2)^(n)/n^(2) $, ho calcolato il raggio, che è 1. Per x=-3 converge, ma per x=-1 non converge, perché?

[ciampax]

Che il raggio di convergenza sia 2, va bene. Ma quale è il disco di convergenza? Cioè quale è l'intervallo $(a,b)$ su cui converge la serie?

[denny101]

la serie va da n=1 a + inf, l'insieme di convergenza è [-5,-1]

[ciampax]

Quindi la tua domanda qual è? Perché converga in $x=-5,\ x=-1$? Prova a sostituire tali valori e studia le serie che vengono fuori in entrambi i casi.

[denny101]

l'ho fatto, ma il problema che ho è proprio nello studio della serie. L'esercizio mi dice che converge sia per x=-5 che per x=-1, ma non ho capito il perché.

[ciampax]

Se $x=-1$ si ha $(x+3)^n=2^n$, pertanto la serie diventa $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^3}$ che converge perché...

Se invece $x=-5$ si ha $(x+3)^n=(-2)^n=(-1)^n 2^n$ e quindi la serie diventa $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n^3}$. Essendo una serie a termini di segno alterno, puoi studiare la serie dei valori assoluti che coincide con la precedente. Convergendo la serie dei valori assoluti, hai convergenza assoluta e, di conseguenza, convergenza semplice.

P.S.: ma la teoria sulle serie numeriche la conosci? Perché senza, le serie di potenze risultano molto complicate da affrontare.