Esercizion esame analisi

[*missdreamer*12]

Qualcuno saprebbe dirmi come potrei risolvere il seguente esercizio?

Grazie...

Si consideri la funzione $f(x,y)=e^{x^2-y^2}+e^{y^2-x^2}-x+y$

1. Stabilire se la funzione è limitata in $RR^2$
2. se ha punti di minimo o massimo locali in $RR^2$

Grazie

[luluemicia]

Ciao,
la restrizione della tua funzione alla retta di eq. $x+y=0$ è chiaramente non limitata!
Per quanto riguarda l'altra domanda, nota che, per esempio, la derivata rispetto a $x$ non si annulla in alcun punto e, quindi,.....

[gugo82]

"*missdreamer*":Qualcuno saprebbe dirmi come potrei risolvere il seguente esercizio?

Grazie...

Si consideri la funzione $f(x,y)=e^{x^2-y^2}+e^{y^2-x^2}-x+y$

1. Stabilire se la funzione è limitata in $RR^2$
2. se ha punti di minimo o massimo locali in $RR^2$

Grazie

La soluzione del quesito 1. postata in precedenza è buona.
Però la soluzione del quesito 2. data da luluemicia non mi convince. Infatti le derivate parziali della $f$ sono date da:

$(\partial f)/(\partial x)(x,y)=4x*sinh(x^2-y^2)-1 quad$ e $quad (\partial f)/(\partial x)(x,y)=-4y*sinh(x^2-y^2)+1$ (ho usato la funzione iperbolica $sinhz=(e^z-e^(-z))/2$ per sintetizzare le espressioni delle derivate parziali prime)

e mi pare che entrambe tali funzioni abbiano degli zeri in $RR^2$.
Per trovare i punti critici di $f$ bisogna risolvere il sistema:

$\{(4x*sinh(x^2-y^2)-1=0),(-4y*sinh(x^2-y^2)+1=0):} quad$;

moltiplicando la prima equazione per $y$ e la seconda per $x$ e sommando le due relazioni così ottenute si può affermare che il sistema precedente è equivalente a:

$\{(4x*sinh(x^2-y^2)=1),(-y+x=0):}$

e si vede facilmente che tale sistema non ammette soluzioni in $RR^2$ (infatti se $(barx,bary) in RR^2$ fosse soluzione del sistema, dalla seconda equazione si trarrebbe $bary=barx$ e sostituendo ciò nella prima troveremmo $4barx*sinh(barx^2-barx^2)=4barx*sinh0=0=1$, il che è una palese assurdità!).
Ne consegue che la funzione $f(x,y)$ non ha punti critici e perciò non può presentare massimo o minimo locali in alcun punto $RR^2$.

[luluemicia]

Ciao gugo82,
hai ragione: nello scrivere la derivata ho erroneamente trascritto lo stesso esponente agli esponenziali e, quindi, mi sono venuti opposti (e, banalmente, non lo erano).
Scusa e grazie.