[Esercizio]Derivate seconde miste.
Ciao a tutti.
Ho questo esercizio.
Io ho prima calcolato $f_x = 2x*sin(y/x)-y*cos(y/x)$ e poi $f_{xy} = cos(y/x)+(y/x)sin(y/x)$
e mi sono calcolato $lim_(x -> 0) f_{xy}(x,0) = 1$ e poi $lim_(y -> 0) f_{xy}(0,y)$ che però non esiste.. Dove sbaglio?
Come devo procedere in questi casi?
Grazie ragazzi..
Francesco.
Ho questo esercizio.
Io ho prima calcolato $f_x = 2x*sin(y/x)-y*cos(y/x)$ e poi $f_{xy} = cos(y/x)+(y/x)sin(y/x)$
e mi sono calcolato $lim_(x -> 0) f_{xy}(x,0) = 1$ e poi $lim_(y -> 0) f_{xy}(0,y)$ che però non esiste.. Dove sbaglio?
Come devo procedere in questi casi?
Grazie ragazzi..
Francesco.
Risposte
hai sbagliato a calcolare $f_(xy)$
"walter89":
hai sbagliato a calcolare $f_(xy)$
Scusami ho sbagliato a scrivere qua. Ho corretto..
In realtà, ti conviene usare la definizione di derivata. Ad esempio, per calcolare $f_{xy}(0,0)$ puoi usare il fatto che
$f_{xy}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f_x(0,h)-f_x(0,0)}{h}$
ed ovviamente, prima devi calcolare cosa sono $f_x(0,h),\ f_x(0,0)$, sempre usando la definizione. Osserva che in questo caso il Teorema di Schwarz non vale, per cui sperare di arrivare alla conclusione usando le derivate parziali miste (supponendo che $f_{xy}=f_{yx}$ come stai facendo) è fuori luogo.
$f_{xy}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f_x(0,h)-f_x(0,0)}{h}$
ed ovviamente, prima devi calcolare cosa sono $f_x(0,h),\ f_x(0,0)$, sempre usando la definizione. Osserva che in questo caso il Teorema di Schwarz non vale, per cui sperare di arrivare alla conclusione usando le derivate parziali miste (supponendo che $f_{xy}=f_{yx}$ come stai facendo) è fuori luogo.
"ciampax":
In realtà, ti conviene usare la definizione di derivata. Ad esempio, per calcolare $f_{xy}(0,0)$ puoi usare il fatto che
$f_{xy}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f_x(0,h)-f_x(0,0)}{h}$
ed ovviamente, prima devi calcolare cosa sono $f_x(0,h),\ f_x(0,0)$, sempre usando la definizione. Osserva che in questo caso il Teorema di Schwarz non vale, per cui sperare di arrivare alla conclusione usando le derivate parziali miste (supponendo che $f_{xy}=f_{yx}$ come stai facendo) è fuori luogo.
Ti ringrazio.. io però non sto supponendo che $f_{xy}=f_{yx}$ ma ho semplicemente trattato la prima richiesta..
Ma come mai devo applicare la definizione(quindi fare il limite del rapporto incrementale) e non posso fare come stavo procedendo?
Ti ringrazio ancora..
Nessuno 
?
?
Allora, io lo svolgerei in questo modo:
sappiamo che \(\displaystyle f(0,y)=0 \)
e che essa è definita come \(\displaystyle f(x,y)=x^{2}sin(\frac{y}{x}) \) nei punti in cui \(\displaystyle x\neq0 \)
Io vorrei applicare la definizione di rapporto incrementale alla derivata prima di f rispetto ad x e y, in modo da ottenere le derivate miste desiderate.
Quindi vorrei applicare la seguente legge:
\(\displaystyle f_{xy}(x,y)=lim(h\rightarrow0)\frac{f_{x}(x,y+h)-f_{x}(x,y)}{h} \)
Volendole calcolare nel punto 0, la formula diventa:
\(\displaystyle f_{xy}(0,0)=lim(h\rightarrow0)\frac{f_{x}(0,0+h)-f_{x}(0,0)}{h} \)
Peccato che dalla definizione di derivata parziale prima rispetto alla x che hai dato te, non posso andare a sostituire direttamente x=0, perché incorrerei nella divisione per 0.
Quindi aggiro il problema scrivendo la derivata prima rispetto alla x di nuovo usando la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale, ed andandola a calcolare nel punto (0,y), che è poi quello che serve a me nella formula sopra.
Infatti:
\(\displaystyle f_{x}(0,y)=lim(h\rightarrow0)\frac{f(0+h,y)-f_{x}(0,y)}{h} \)
\(\displaystyle =lim(h\rightarrow0)\frac{f(0+h,y)}{h}=lim(h\rightarrow0)(h^{2}sin(\frac{y}{h})\frac{1}{h})=lim(h\rightarrow0)hsin(\frac{y}{h})=0 \)
L'ultimo risultato è dato dal fatto che il prodotto di una funzione limitata per una infinitesima è un infinitesimo.
Sei quindi giunto alla conclusione che la derivata prima parziale rispetto alla x se x=0 e y=y generica è nulla.
Ora puoi applicare la formula iniziale:
\(\displaystyle f_{xy}(0,0)=lim(h\rightarrow0)\frac{f_{x}(0,0+h)-f_{x}(0,0)}{h} \)
Non avrai quindi problemi a sostituire alla derivata \(\displaystyle f_{x}(0,0+h) \) il valore 0, dopo tutta la fatica fatta per dimostrarlo !!
Puoi inoltre assegnare a \(\displaystyle f_{x}(0,0) \) il valore 0, in quanto se prendi la funzione \(\displaystyle f(x,y)=x^{2}sin(\frac{y}{x}) \) e la annulli rispettivamente lungo l'asse x ed y hai come valore risultante 0:
\(\displaystyle f(0,y)=0 \) (come alla fine già sapevamo)
\(\displaystyle f(x,0)=0 \) (basta una semplice sostituzione)
Quindi nell'origine, che è l'incontro dei 2 assi coordinati, la funzione non può fare altro che valere 0; ma questo ci porta a dire che in quel punto anche la sua derivata ha valore nullo.
Quindi hai un limite al cui numeratore c'è la differenza di 2 funzioni entrambe identicamente nulle.
Puoi ripetere il ragionamento del limite del rapporto incrementale anche per la variabile y, ma in questo caso è tutto più semplice, visto che non ci sono operazioni "apparentemente impossibili" !!
Spero di essere stato abbastanza chiaro; per qualsiasi cosa scrivi pure.
Ciao ciao
Enrico Catanzani
sappiamo che \(\displaystyle f(0,y)=0 \)
e che essa è definita come \(\displaystyle f(x,y)=x^{2}sin(\frac{y}{x}) \) nei punti in cui \(\displaystyle x\neq0 \)
Io vorrei applicare la definizione di rapporto incrementale alla derivata prima di f rispetto ad x e y, in modo da ottenere le derivate miste desiderate.
Quindi vorrei applicare la seguente legge:
\(\displaystyle f_{xy}(x,y)=lim(h\rightarrow0)\frac{f_{x}(x,y+h)-f_{x}(x,y)}{h} \)
Volendole calcolare nel punto 0, la formula diventa:
\(\displaystyle f_{xy}(0,0)=lim(h\rightarrow0)\frac{f_{x}(0,0+h)-f_{x}(0,0)}{h} \)
Peccato che dalla definizione di derivata parziale prima rispetto alla x che hai dato te, non posso andare a sostituire direttamente x=0, perché incorrerei nella divisione per 0.
Quindi aggiro il problema scrivendo la derivata prima rispetto alla x di nuovo usando la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale, ed andandola a calcolare nel punto (0,y), che è poi quello che serve a me nella formula sopra.
Infatti:
\(\displaystyle f_{x}(0,y)=lim(h\rightarrow0)\frac{f(0+h,y)-f_{x}(0,y)}{h} \)
\(\displaystyle =lim(h\rightarrow0)\frac{f(0+h,y)}{h}=lim(h\rightarrow0)(h^{2}sin(\frac{y}{h})\frac{1}{h})=lim(h\rightarrow0)hsin(\frac{y}{h})=0 \)
L'ultimo risultato è dato dal fatto che il prodotto di una funzione limitata per una infinitesima è un infinitesimo.
Sei quindi giunto alla conclusione che la derivata prima parziale rispetto alla x se x=0 e y=y generica è nulla.
Ora puoi applicare la formula iniziale:
\(\displaystyle f_{xy}(0,0)=lim(h\rightarrow0)\frac{f_{x}(0,0+h)-f_{x}(0,0)}{h} \)
Non avrai quindi problemi a sostituire alla derivata \(\displaystyle f_{x}(0,0+h) \) il valore 0, dopo tutta la fatica fatta per dimostrarlo !!
Puoi inoltre assegnare a \(\displaystyle f_{x}(0,0) \) il valore 0, in quanto se prendi la funzione \(\displaystyle f(x,y)=x^{2}sin(\frac{y}{x}) \) e la annulli rispettivamente lungo l'asse x ed y hai come valore risultante 0:
\(\displaystyle f(0,y)=0 \) (come alla fine già sapevamo)
\(\displaystyle f(x,0)=0 \) (basta una semplice sostituzione)
Quindi nell'origine, che è l'incontro dei 2 assi coordinati, la funzione non può fare altro che valere 0; ma questo ci porta a dire che in quel punto anche la sua derivata ha valore nullo.
Quindi hai un limite al cui numeratore c'è la differenza di 2 funzioni entrambe identicamente nulle.
Puoi ripetere il ragionamento del limite del rapporto incrementale anche per la variabile y, ma in questo caso è tutto più semplice, visto che non ci sono operazioni "apparentemente impossibili" !!
Spero di essere stato abbastanza chiaro; per qualsiasi cosa scrivi pure.
Ciao ciao
Enrico Catanzani
Grazie tante Enrico. Proverò a fare come mi hai consigliato 
Ma perchè $lim_(x -> 0) f_{xy}(x,0) = 1$ e non a 0 come previsto?
Ma perchè $lim_(x -> 0) f_{xy}(x,0) = 1$ e non a 0 come previsto?
Beh, perché facendo i conti viene il limite di h/h = 1 !!
Più tardi se vuoi ti posto lo svolgimento ....
Più tardi se vuoi ti posto lo svolgimento ....
"Catanzani":
Beh, perché facendo i conti viene il limite di h/h = 1 !!
Più tardi se vuoi ti posto lo svolgimento ....
Nono.. lo svolgimento lo so fare. Ma non capisco perchè facendo il limite non mi viene 0.. Forse perchè $f_{xy}$ non è continua in (0,0) e quindi il limite non coincide con il suo valore nel punto (0,0)?
Certo, è per questo... infatti il teorema di Schwartz (o come si scrive) ti dice che le dicate miste sono uguali se calcolate nello stesso punto se e solo se sono continue nel punto stesso.... da cui l'asserto
"Catanzani":
Certo, è per questo... infatti il teorema di Schwartz (o come si scrive) ti dice che le dicate miste sono uguali se calcolate nello stesso punto se e solo se sono continue nel punto stesso.... da cui l'asserto
Grazie mille!
Di nulla, figurati !!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo