Esercizio6
GRAZIE A CHI MI RISPONDERA'
STEVEN
Risposte
il campo F=[u;v] è irrotazionale (rotF=0, verificalo!).
Inoltre è definito in tutto il piano reale a parte l'origine.
Quindi l'integrale calcolato lungo una qualunque curva regolare omologa ad alfa deve dare lo stesso risultato. Consideriamo allora una circonferenza centrata nell'origine e di raggio r:
x=r*cos(t)
y=r*sin(t)
dx=-r*sin(t)*dt
dy=r*cos(t)*dt
Sostituendo nella forma differenziale ottieni un'espressione un po' lunga... però, non dipendendo l'integrale da r (per quanto detto sopra posso scegliere una circonferenza di raggio qualunque), posso far tendere a 0 r. Rimarranno i seguenti termini:
(-(sin(t))^2+(cos(t))^2)dt =
= cos(2t) dt
integrando si ottiene
t/2 + (1/4)*sin(2t)
da calcolare tra 0 e 6*pi.
Il risultato è 3*pi.
Ho controllato con un programma che venisse sempre 3*pi anche con altri valori di rho (senza farlo tendere a 0 insomma) e funziona! E' una conferma che F è proprio irrotazionale (del resto non l'ho neanche calcolato il rotore...
).
Quando ho tempo vado avanti... ciao!
Inoltre è definito in tutto il piano reale a parte l'origine.
Quindi l'integrale calcolato lungo una qualunque curva regolare omologa ad alfa deve dare lo stesso risultato. Consideriamo allora una circonferenza centrata nell'origine e di raggio r:
x=r*cos(t)
y=r*sin(t)
dx=-r*sin(t)*dt
dy=r*cos(t)*dt
Sostituendo nella forma differenziale ottieni un'espressione un po' lunga... però, non dipendendo l'integrale da r (per quanto detto sopra posso scegliere una circonferenza di raggio qualunque), posso far tendere a 0 r. Rimarranno i seguenti termini:
(-(sin(t))^2+(cos(t))^2)dt =
= cos(2t) dt
integrando si ottiene
t/2 + (1/4)*sin(2t)
da calcolare tra 0 e 6*pi.
Il risultato è 3*pi.
Ho controllato con un programma che venisse sempre 3*pi anche con altri valori di rho (senza farlo tendere a 0 insomma) e funziona! E' una conferma che F è proprio irrotazionale (del resto non l'ho neanche calcolato il rotore...
).Quando ho tempo vado avanti... ciao!
punti 2 e 3.
Con le formule per trovare un potenziale (utilizzando come punto di partenza (1;0) ad esempio) otteniamo un potenziale:
U(x,y)=arctg(y/x)-1/(1+(xy)^2)
tale potenziale è definito in tutto D ed è di classe C2 su D. Quindi omega è esatta in D.
Modificato da - goblyn il 20/09/2003 15:03:42
Con le formule per trovare un potenziale (utilizzando come punto di partenza (1;0) ad esempio) otteniamo un potenziale:
U(x,y)=arctg(y/x)-1/(1+(xy)^2)
tale potenziale è definito in tutto D ed è di classe C2 su D. Quindi omega è esatta in D.
Modificato da - goblyn il 20/09/2003 15:03:42
La curva beta è regolare e il suo supporto è completamente contenuto nella regione di piano in cui U(x,y) è potenziale del campo F. omega è esatta, quindi l'integrale di linea proposto non dipende dalla curva in esame ma solo dal punto iniziale (Q) e quello finale (T). Conoscendo un potenziale è facile calcolare quell'integrale:
Integrale = U(T) - U(Q)
Dobbiamo trovare T e Q. Basta sostituire nell'equazione della curva. Otteniamo:
T=(3/2;1/6)
Q=(1/2;1/2)
Integrale = U(3/2;1/6) - U(1/2;1/2) =
= arctg(1/9) - pi/4
Ho controllato anche questo risultato eseguendo direttamente il calcolo dell'integrale con un programma di calcolo e funziona!
ciao!
Integrale = U(T) - U(Q)
Dobbiamo trovare T e Q. Basta sostituire nell'equazione della curva. Otteniamo:
T=(3/2;1/6)
Q=(1/2;1/2)
Integrale = U(3/2;1/6) - U(1/2;1/2) =
= arctg(1/9) - pi/4
Ho controllato anche questo risultato eseguendo direttamente il calcolo dell'integrale con un programma di calcolo e funziona!
ciao!
goblyn
Ottimo lavoro!
ciao e grazie
steven
ciao e grazie
steven
Ho rivisto l'esercizio e volevo chiederti cosa vuol dire che omega è di classe c2 in D?
al punto precedente hai trovato Q e T sostituendo i valori 3/2 e 1/2 alla curva y = 1 - cos2pix/4(2- (senpix)^2) ho provato a farlo anch'io ma a me vengono Q(3/2 -1/16) e T(1/2 1/16) dov'è che sbaglio?
Un'altra cosa, neanche tu sai niente sulla voyage200?
grazie
ciao
steven
al punto precedente hai trovato Q e T sostituendo i valori 3/2 e 1/2 alla curva y = 1 - cos2pix/4(2- (senpix)^2) ho provato a farlo anch'io ma a me vengono Q(3/2 -1/16) e T(1/2 1/16) dov'è che sbaglio?
Un'altra cosa, neanche tu sai niente sulla voyage200?
grazie
ciao
steven
omega è di classe C2 vuol dire che u e v sono continue insieme a tutte le derivate di ordine <=2 in D.
Per quanto riguarda T e Q mi rendo conto ora che probabilmente ho letto male il testo... mi sembra che manchi una parentesi al denominatore nel testo...
comunque il procedimento non cambia, devi sostituire solo i numeri giusti!!! Ho fatto come dici tu: ho sostituito 1/2 e 3/2 nell'espressione della curva y(x).
Non so nulla della voyager!
Va beh dai calcoliamo i punti T e Q:
T=(3/2;1/2)
Q=(1/2;1/2)
se non ho sbagliato i conti...
del resto
cos(2*3/2*pi)=cos(3*pi)=-1
(sin(pi*3/2))^2=1
cos(2*1/2*pi)=cos(pi)=-1
(sin(pi*1/2))^2=1
ciao!
Per quanto riguarda T e Q mi rendo conto ora che probabilmente ho letto male il testo... mi sembra che manchi una parentesi al denominatore nel testo...
comunque il procedimento non cambia, devi sostituire solo i numeri giusti!!! Ho fatto come dici tu: ho sostituito 1/2 e 3/2 nell'espressione della curva y(x).
Non so nulla della voyager!
Va beh dai calcoliamo i punti T e Q:
T=(3/2;1/2)
Q=(1/2;1/2)
se non ho sbagliato i conti...
del resto
cos(2*3/2*pi)=cos(3*pi)=-1
(sin(pi*3/2))^2=1
cos(2*1/2*pi)=cos(pi)=-1
(sin(pi*1/2))^2=1
ciao!
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