Esercizio1
propongo di seguito un esercizio di analisi II spero che qualche appassionato del "settore" vogli cimentarsi nel risolverlo per aiutarmi
ESPRIMERE IN FUNZIONE DELLE COORDINATE POLARI ( RO e THETA ) IL SEGUENTE DOMINIO:
D: { (x, y) in R2 : y >= 0 ; x^2 + y^2 >= 25 ; (x^2)/25 + (y^2)/36 <=1 }
GRAZIE
STEVEN
ESPRIMERE IN FUNZIONE DELLE COORDINATE POLARI ( RO e THETA ) IL SEGUENTE DOMINIO:
D: { (x, y) in R2 : y >= 0 ; x^2 + y^2 >= 25 ; (x^2)/25 + (y^2)/36 <=1 }
GRAZIE
STEVEN
Risposte
nON è ANCORA UNA RISPOSTA , SOLO UN INIZIO:
x^2+y^2=25 è l'equazione di una crf. di centro l'origine e raggio 5.
la sua equazione in coordinate polari è :
x=5* cos theta
y=5*sen theta
la limitazioen y>= 0 si traduce in :0 =
va trovata la sua equazione in coordinate polari e poi va combinato il tutto considerando quale è la regione di piano interessata :
semipiano superiore delle y , punti esterni alla crf. , punti interni all'ellisse.
ciao
Camillo
x^2+y^2=25 è l'equazione di una crf. di centro l'origine e raggio 5.
la sua equazione in coordinate polari è :
x=5* cos theta
y=5*sen theta
la limitazioen y>= 0 si traduce in :0 =
va trovata la sua equazione in coordinate polari e poi va combinato il tutto considerando quale è la regione di piano interessata :
semipiano superiore delle y , punti esterni alla crf. , punti interni all'ellisse.
ciao
Camillo
La equazione dell'ellisse in forma polare è :
x=5* cos theta
y= 6* sen theta
La regione di piano che si richiede di indicare in coordinate polari
è quella compresa tra la parte superiore della crf. e la parte
superiore della ellisse( se fai un disegno è chiaro) e soddisferà a
queste limitazioni :
0 <= theta <= pi
5 <= ro <= sqrt( 25*(cos(theta)^2 +36* sen(theta)^2)
in quanto ro minimo è chiaramente 5( pari al raggio della crf. ) e
l'espressione sotto sqrt è pari al " raggio variabile " dell'ellisse
per ogni valore di theta.
Avendolo fatto un pò di fretta spero di non aver fatto troppe cavolate.
ciao
Camillo
Modificato da - camillo il 23/09/2003 17:11:36
x=5* cos theta
y= 6* sen theta
La regione di piano che si richiede di indicare in coordinate polari
è quella compresa tra la parte superiore della crf. e la parte
superiore della ellisse( se fai un disegno è chiaro) e soddisferà a
queste limitazioni :
0 <= theta <= pi
5 <= ro <= sqrt( 25*(cos(theta)^2 +36* sen(theta)^2)
in quanto ro minimo è chiaramente 5( pari al raggio della crf. ) e
l'espressione sotto sqrt è pari al " raggio variabile " dell'ellisse
per ogni valore di theta.
Avendolo fatto un pò di fretta spero di non aver fatto troppe cavolate.
ciao
Camillo
Modificato da - camillo il 23/09/2003 17:11:36
GRAZIE TANTE CAMILLO
STEVEN
STEVEN
ho rivisto l'esercizio e volevo chiedere una cosa più generale riguardo alle coordinate polari. nell'esercizio l'imposizione y>=0 generava un valore di theta compreso tra o e pi. se invece fosse stato x>= 0 che effetti avrebbe avuto su theta? e poi una semicirconferenza di centro l'origine disposta simmetricamente rispetto all'asse y diciamo di raggio unitario che variazione di theta comporterebbe?
grazie
steven17
grazie
steven17
x>=0 vuol dire : 0<=teta<=pi/2 e 3/2pi<=teta<=2pi , oppure con una unica notazione :-pi/2<=teta<=pi/2 .
Se fai un disegno è una cosa molto semplice (forse tu la credi complicata , ma non lo è)
* semicrf. centro origine e raggio 1( non importa quale sia il raggio )
se la semi crf. è nella parte superiore ( y>=0) allora:
0<=teta
pi<=teta<=2pi oppure:-pi<=teta<0.
prova a disegnare il tutto sul foglio e a rifletterci un po' : se non ti è chiaro torna pure alla carica.
ciao
Camillo
Se fai un disegno è una cosa molto semplice (forse tu la credi complicata , ma non lo è)
* semicrf. centro origine e raggio 1( non importa quale sia il raggio )
se la semi crf. è nella parte superiore ( y>=0) allora:
0<=teta
pi<=teta<=2pi oppure:-pi<=teta<0.
prova a disegnare il tutto sul foglio e a rifletterci un po' : se non ti è chiaro torna pure alla carica.
ciao
Camillo
Coordinate polari
Ieri ero un po' di fretta e le mie spiegazioni sono state forse un
po' sbrigative.
Val la pena di approfondire, perchè è un punto molto importante e, se
non è chiaro, non si riesce neppure a partire nella soluzione di
molti esercizi di Analisi II.
A)Come definire in coordinate polari la parte di piano caratterizzata
da : y>=0 ? Si tratta del semipiano superiore, cioè di quello che
nella rappresentazione cartesiana viene definito primo e secondo
quadrante.
Immagina una semicrf. di centro l'origine e raggio: 1( sempre nel
semipiano superiore).Tutti i punti inclusi in questo semicerchio
avranno:
0<=RO<=1 ed anche : 0<=TETA<=180°( pi espresso in radianti)
Quindi questa coppia di relazioni identifica tutti e soli i punti del
semipiano superiore racchiusi nella semicrf. di raggio 1
e anche quelli facenti parte del bordo.
Ricorda che gli angoli si contano positivi in senso antiorario a
partire dalla semiretta positiva delle x( che ha teta=0) e quindi
l'asse y positivo ha teta = pi/2, mentre l'asse x negativo ha teta=
pi e l'asse y negativo ha teta = 3/2pi.
Adesso facciamo lo stesso discorso con una semicrf. di raggio : 100 ;
tutti i punti di questo nuovo semicerchio saranno rappresentati da :
0<=RO<=100 ed anche : 0<=TETA<= pi.
Se adesso porti all'infinito il raggio ottieni tutto il semipiano
superiore con y>=0 che in coordinate polari sarà identificato da :
0<=TETA<= pi ; dovresti anche mettere : 0<=RO<=inf., ma questo
chiaramente è del tutto inutile e allora non si mette niente che
significa : RO qualunque.
B)Penso che adesso ti sia più chiara la rappresentazione polare del
semipiano : x>=0, che è:
0<=TETA<=pi/2 e 3/2pi<=TETA<= 2 pi
oppure in modo più sintetico :
-pi/2<=TETA<=pi/2 ( è chiaro perchè - pi/2 ? )
C)Semicrf. di centro l'origine e di raggio 1 disposta simmetricamente
rispetto l'asse y e nel semipiano superiore : 0<=RO<=1 e 0<=teta<=pi
rappresenta tutti i punti inclusi nel semicerchio.
D)Altro esempio
Condidera nel primo quadrante soltanto, due archi di crf. di raggio
R1 e R2 (con R1
circolare compresa tra i due archi di crf. e inclusi gli archi stessi
e i segmenti di chiusura sull'asse x e asse y, si avrà:
R1<=RO<=R2 e 0<=TETA<=pi/2: se scrivessi R1
archi di crf. e se scrivessi : R1
su asse x e y.
E)Ultimo esempio
Consideriamo solo nel primo quadrante un quarto di crf . di raggio 1
e due rette di angolo rispettivamente :pi/6 e pi/4 ( l'equazione
delle rette è risp. : y=(sqrt(3)/3)*x e y=x); se voglio rappresentare
il triangolo curvilineo formato dai due segmenti delle due rette e
delimitato dall'arco della semicrf. scriverei :
0<=RO<=1 e pi/6<=TETA<=pi/4
Spero che adesso la cosa sia un pò più chiara...
Fatti sentire se hai bisogno
ciao
Camillo
Ieri ero un po' di fretta e le mie spiegazioni sono state forse un
po' sbrigative.
Val la pena di approfondire, perchè è un punto molto importante e, se
non è chiaro, non si riesce neppure a partire nella soluzione di
molti esercizi di Analisi II.
A)Come definire in coordinate polari la parte di piano caratterizzata
da : y>=0 ? Si tratta del semipiano superiore, cioè di quello che
nella rappresentazione cartesiana viene definito primo e secondo
quadrante.
Immagina una semicrf. di centro l'origine e raggio: 1( sempre nel
semipiano superiore).Tutti i punti inclusi in questo semicerchio
avranno:
0<=RO<=1 ed anche : 0<=TETA<=180°( pi espresso in radianti)
Quindi questa coppia di relazioni identifica tutti e soli i punti del
semipiano superiore racchiusi nella semicrf. di raggio 1
e anche quelli facenti parte del bordo.
Ricorda che gli angoli si contano positivi in senso antiorario a
partire dalla semiretta positiva delle x( che ha teta=0) e quindi
l'asse y positivo ha teta = pi/2, mentre l'asse x negativo ha teta=
pi e l'asse y negativo ha teta = 3/2pi.
Adesso facciamo lo stesso discorso con una semicrf. di raggio : 100 ;
tutti i punti di questo nuovo semicerchio saranno rappresentati da :
0<=RO<=100 ed anche : 0<=TETA<= pi.
Se adesso porti all'infinito il raggio ottieni tutto il semipiano
superiore con y>=0 che in coordinate polari sarà identificato da :
0<=TETA<= pi ; dovresti anche mettere : 0<=RO<=inf., ma questo
chiaramente è del tutto inutile e allora non si mette niente che
significa : RO qualunque.
B)Penso che adesso ti sia più chiara la rappresentazione polare del
semipiano : x>=0, che è:
0<=TETA<=pi/2 e 3/2pi<=TETA<= 2 pi
oppure in modo più sintetico :
-pi/2<=TETA<=pi/2 ( è chiaro perchè - pi/2 ? )
C)Semicrf. di centro l'origine e di raggio 1 disposta simmetricamente
rispetto l'asse y e nel semipiano superiore : 0<=RO<=1 e 0<=teta<=pi
rappresenta tutti i punti inclusi nel semicerchio.
D)Altro esempio
Condidera nel primo quadrante soltanto, due archi di crf. di raggio
R1 e R2 (con R1
circolare compresa tra i due archi di crf. e inclusi gli archi stessi
e i segmenti di chiusura sull'asse x e asse y, si avrà:
R1<=RO<=R2 e 0<=TETA<=pi/2: se scrivessi R1
archi di crf. e se scrivessi : R1
su asse x e y.
E)Ultimo esempio
Consideriamo solo nel primo quadrante un quarto di crf . di raggio 1
e due rette di angolo rispettivamente :pi/6 e pi/4 ( l'equazione
delle rette è risp. : y=(sqrt(3)/3)*x e y=x); se voglio rappresentare
il triangolo curvilineo formato dai due segmenti delle due rette e
delimitato dall'arco della semicrf. scriverei :
0<=RO<=1 e pi/6<=TETA<=pi/4
Spero che adesso la cosa sia un pò più chiara...
Fatti sentire se hai bisogno
ciao
Camillo
grazie camillo sei stato veramente chiaro!
l'unica cosa per la quale sono ancora in difficoltà è la risoluzione degli esercizi 2 e 6 dove goblyn ha iniziato ad aiutarmi se magari gli dai una mano....
comunque grazie lo stesso
ciao
steven
l'unica cosa per la quale sono ancora in difficoltà è la risoluzione degli esercizi 2 e 6 dove goblyn ha iniziato ad aiutarmi se magari gli dai una mano....
comunque grazie lo stesso
ciao
steven
ciao,
nell'esercizio 2 ci sono delle definizioni che non ho mai sentito : sorry.
Nel frattempo goblyn ha brillantemente risolto l'es.6.
ciao
Camillo
nell'esercizio 2 ci sono delle definizioni che non ho mai sentito : sorry.
Nel frattempo goblyn ha brillantemente risolto l'es.6.
ciao
Camillo
Scusa Camillo ti disturbo ancora una volta:
della tua spiegazione ho capito tutto e ho provato a fare degli esercizi e vorrei che tu ne verificassi la correttezza.
il dominio (y>=0; x^2+y^2>=25; x^2/25 + y^2/36 <=1) rappresentato in coordinate polari non è il seguente:
( 0 <= theta <=pi; 5<= ro <=6) ?
inoltre la figura composta dalle curve x^2+y^2=4 e x^2/4+y^2/9=1 non può essere espressa come l'unione di due domini dove:
D1 = (2sent<=t<=2cost; 0<=theta<=pi)
D2 = (3sent<=t<=2cost; pi<=theta<=2pi)
questo è tutto spero di non aver sbagliato....
grazie
steven
della tua spiegazione ho capito tutto e ho provato a fare degli esercizi e vorrei che tu ne verificassi la correttezza.
il dominio (y>=0; x^2+y^2>=25; x^2/25 + y^2/36 <=1) rappresentato in coordinate polari non è il seguente:
( 0 <= theta <=pi; 5<= ro <=6) ?
inoltre la figura composta dalle curve x^2+y^2=4 e x^2/4+y^2/9=1 non può essere espressa come l'unione di due domini dove:
D1 = (2sent<=t<=2cost; 0<=theta<=pi)
D2 = (3sent<=t<=2cost; pi<=theta<=2pi)
questo è tutto spero di non aver sbagliato....
grazie
steven
Prima di tutto volevo segnalarti che nel mio post del 16/09 c'è un
errore :
L'equazione dell'ellisse : (x^2/25)+(y^2/36) =1 , in forma polare è:
x=5*cos theta
y=6*sen theta( e non cos theta come stava scritto )
correggo il post.
Adesso veniamo alle tue domande :
1)tu chiedi se il dominio (y>=0; x^2+y^2>=25 ; x^2/25 +y^2/36<=1 )
rappresentato in coordinate polari sia :
0<=theta<=pi questo è ok.
5<=ro<=6 questo non è corretto in quanto così rappresenterebbe la
semicorona circolare superiore compresa tra 2 semicrf. di raggio 5 e
6; nel nostro caso invece il bordo esterno del dominio è dato da un
'ellisse( che ha semiasse pari a 5 su asse x e semiasse pari a 6 su
asse y); il bordo interno del dominio è dato dalla semicrf. di raggio
5 .Allora : 5<=ro va bene , non va bene il limite superiore che tu
hai posto uguale a 6.
Considera una semiretta che esca dall'origine degli assi e faccia un
angolo theta con l'asse x ; questa semiretta incontra l'ellisse in un
punto che ha una distanza dall'origine delle coordinate pari a :
sqrt(x^2+y^2)(pitagora) che vale (vedi sopra):
sqrt(25*(cos(theta))^2+36*(sen(theta))^2) e questa è l'espressione di
ro massimo che non può essere superato.
D'altronde nell'espressione di ro per l'ellisse ci deve essere una
dipendenza da theta , perchè ro varia con theta !
Quindi il dominio in coordinate polari è così specificato:
0<=theta<=pi
5<=ro<=sqrt(25*(cos(theta))^2+36*(sen(theta))^2).
2) non riesco a capire esattamente cosa vuoi trovare
tu parli di 2 curve : una è una crf. di centro origine e raggio 2;
l'altra è una ellisse di semiasse pari a 2 su asse x e di semiasse
pari a 3 su asse y .
non capisco cosa rappresentino D1 e D2 ( forse è 2sen t<=ro <=2 cos t
??...cosa significa ? dovrebbe essere la rappresentazione di che cosa
?)
cosa intendi poi per figura composta : la parte di piano comune alle
2 figure o la somma delle 2 figure ? o che altro ?
chiarisci meglio i dati del problema e che cosa vuoi trovare.
ciao
Camillo
errore :
L'equazione dell'ellisse : (x^2/25)+(y^2/36) =1 , in forma polare è:
x=5*cos theta
y=6*sen theta( e non cos theta come stava scritto )
correggo il post.
Adesso veniamo alle tue domande :
1)tu chiedi se il dominio (y>=0; x^2+y^2>=25 ; x^2/25 +y^2/36<=1 )
rappresentato in coordinate polari sia :
0<=theta<=pi questo è ok.
5<=ro<=6 questo non è corretto in quanto così rappresenterebbe la
semicorona circolare superiore compresa tra 2 semicrf. di raggio 5 e
6; nel nostro caso invece il bordo esterno del dominio è dato da un
'ellisse( che ha semiasse pari a 5 su asse x e semiasse pari a 6 su
asse y); il bordo interno del dominio è dato dalla semicrf. di raggio
5 .Allora : 5<=ro va bene , non va bene il limite superiore che tu
hai posto uguale a 6.
Considera una semiretta che esca dall'origine degli assi e faccia un
angolo theta con l'asse x ; questa semiretta incontra l'ellisse in un
punto che ha una distanza dall'origine delle coordinate pari a :
sqrt(x^2+y^2)(pitagora) che vale (vedi sopra):
sqrt(25*(cos(theta))^2+36*(sen(theta))^2) e questa è l'espressione di
ro massimo che non può essere superato.
D'altronde nell'espressione di ro per l'ellisse ci deve essere una
dipendenza da theta , perchè ro varia con theta !
Quindi il dominio in coordinate polari è così specificato:
0<=theta<=pi
5<=ro<=sqrt(25*(cos(theta))^2+36*(sen(theta))^2).
2) non riesco a capire esattamente cosa vuoi trovare
tu parli di 2 curve : una è una crf. di centro origine e raggio 2;
l'altra è una ellisse di semiasse pari a 2 su asse x e di semiasse
pari a 3 su asse y .
non capisco cosa rappresentino D1 e D2 ( forse è 2sen t<=ro <=2 cos t
??...cosa significa ? dovrebbe essere la rappresentazione di che cosa
?)
cosa intendi poi per figura composta : la parte di piano comune alle
2 figure o la somma delle 2 figure ? o che altro ?
chiarisci meglio i dati del problema e che cosa vuoi trovare.
ciao
Camillo
riporto "su" questo storico thread perchè c'è un dominio di questo tipo che mi sta facendo impazzire:
il dominio che devo rappresentare in coordinate polari è D. D è definito come tutti i punti del piano appartenenti ad A e NON appartenenti a B.
A = { x =>0 e y=>0 e 4x^2+9y^2<=36 }
B = { x<1 e y<1 e (x-1)^2+(y-1)^2>1 }
qualcuno ha tempo/voglia di aiutarmi?
Andy Van der Meyde
Van der Meyde Football Club (51865) in Hattrick.org
il dominio che devo rappresentare in coordinate polari è D. D è definito come tutti i punti del piano appartenenti ad A e NON appartenenti a B.
A = { x =>0 e y=>0 e 4x^2+9y^2<=36 }
B = { x<1 e y<1 e (x-1)^2+(y-1)^2>1 }
qualcuno ha tempo/voglia di aiutarmi?
Andy Van der Meyde
Van der Meyde Football Club (51865) in Hattrick.org
Sarebbe necessario fare un disegno .
Provo a darti almeno una traccia:
Il dominio A è nel primo quadrante ( x>=0,y>=0) ed è la parte di piano interna all'ellisse di equazione x^2/9 +y^2/4 =1( infatti la condizione era : 4x^2+9y^2=36, da cui si deduce l'equazione dell'ellisse).
Il dominio B è la parte di piano con x <1 e y < 1 ed è quindi il quadrato di vertici( 0,0), ( 1,0), ( 0,1 ) ,(1,1) e la parte di piano esterna alla crf di centro ( 1,1) e raggio : 1 .
Il dominio cercato però deve appartenere ad A e non a B .
Se fai il disegno lo determini senz'altro.
Camillo
Provo a darti almeno una traccia:
Il dominio A è nel primo quadrante ( x>=0,y>=0) ed è la parte di piano interna all'ellisse di equazione x^2/9 +y^2/4 =1( infatti la condizione era : 4x^2+9y^2=36, da cui si deduce l'equazione dell'ellisse).
Il dominio B è la parte di piano con x <1 e y < 1 ed è quindi il quadrato di vertici( 0,0), ( 1,0), ( 0,1 ) ,(1,1) e la parte di piano esterna alla crf di centro ( 1,1) e raggio : 1 .
Il dominio cercato però deve appartenere ad A e non a B .
Se fai il disegno lo determini senz'altro.
Camillo
ma il disegno è facilissimo...
quello che non riesco a capire è come esprimere il dominio per calcolare l'integrale......
theta va da 0 a pi/2.. giusto?
e ro? come deve variare? bisogna esprimere in funzione di ro le equazioni dell'ellisse e dell'archetto di circonferenza che rientra nel dominio.....
per l'ellisse è facile...
sostituisco le coordinate cartesiane con quelle polari
x = ro cos (theta)
e
y = ro sen (theta)
poi risolvo l'equazione in funzione di ro
e ottengo:
ro = sqrt(9*cos^2(theta)+4*sen^2(theta))
ti trovi?
questa ro è l'estremo superiore dell'integrale....
l'estremo inferiore invece non riesco ad esprimerlo...
((
Andy Van der Meyde
Van der Meyde Football Club (51865) in Hattrick.org
quello che non riesco a capire è come esprimere il dominio per calcolare l'integrale......
theta va da 0 a pi/2.. giusto?
e ro? come deve variare? bisogna esprimere in funzione di ro le equazioni dell'ellisse e dell'archetto di circonferenza che rientra nel dominio.....
per l'ellisse è facile...
sostituisco le coordinate cartesiane con quelle polari
x = ro cos (theta)
e
y = ro sen (theta)
poi risolvo l'equazione in funzione di ro
e ottengo:
ro = sqrt(9*cos^2(theta)+4*sen^2(theta))
ti trovi?
questa ro è l'estremo superiore dell'integrale....
l'estremo inferiore invece non riesco ad esprimerlo...
((Andy Van der Meyde
Van der Meyde Football Club (51865) in Hattrick.org
[img]http://xoomer.virgilio.it/carlolorito/vande2.bmp[/img]
Il dominio in questione e' la regione
in verde.Per questo dominio ,indicando l'angolo
generico teta con t,risulta ovviamente :0<=t<=pi/2.
Per avere la variazione del generico ro,che
per comodita' indico con r,per un assegnato t occorre
calcolare OF e OR.Per avere OF (F sta sull'ellisse)
sostituiamo nell'equazione dell'ellisse
x=OF*cos(t),y=OF*sin(t) e risulta:
OF=6/sqrt[4cos^2(t)+9sin^2(t)]
Per avere OR il procedimento e' piu' lungo.
OC=sqrt(2);OM=sqrt(2)*cos(PI/4-t);CM=sqrt(2)*sin(PI/4-t);
RM=sqrt(CR^2-CM^2)=sqrt[1-2sin^2(PI/4-t)]=sqrt[sin(2*t)];
OR=OM-RM=sqrt(2)*cos(PI/4-t)-sqrt[sin(2*t)].
In conclusione il dominio e' definito da:
0<=t<=pi/2
sqrt(2)*cos(PI/4-t)-sqrt[sin(2*t)]<=r<= 6/sqrt[4cos^2(t)+9sin^2(t)]
Salvo errori.
karl.
Il dominio in questione e' la regione
in verde.Per questo dominio ,indicando l'angolo
generico teta con t,risulta ovviamente :0<=t<=pi/2.
Per avere la variazione del generico ro,che
per comodita' indico con r,per un assegnato t occorre
calcolare OF e OR.Per avere OF (F sta sull'ellisse)
sostituiamo nell'equazione dell'ellisse
x=OF*cos(t),y=OF*sin(t) e risulta:
OF=6/sqrt[4cos^2(t)+9sin^2(t)]
Per avere OR il procedimento e' piu' lungo.
OC=sqrt(2);OM=sqrt(2)*cos(PI/4-t);CM=sqrt(2)*sin(PI/4-t);
RM=sqrt(CR^2-CM^2)=sqrt[1-2sin^2(PI/4-t)]=sqrt[sin(2*t)];
OR=OM-RM=sqrt(2)*cos(PI/4-t)-sqrt[sin(2*t)].
In conclusione il dominio e' definito da:
0<=t<=pi/2
sqrt(2)*cos(PI/4-t)-sqrt[sin(2*t)]<=r<= 6/sqrt[4cos^2(t)+9sin^2(t)]
Salvo errori.
karl.
si si... è proprio così!
karl sei stato divino......
grazie a tutti e due...
Andy Van der Meyde
Van der Meyde Football Club (51865) in Hattrick.org
karl sei stato divino......
grazie a tutti e due...
Andy Van der Meyde
Van der Meyde Football Club (51865) in Hattrick.org
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