Esercizio velocissimo sui numeri complessi
ciao a tutti
potete farmi vedere come si risolve questo esercizio?
determina le radici quarte di: z = 20 - i
praticamente il testo dell esercizio mi da 4 grafici con 4 soluzioni di punti sul piano cartesiano e io devo segnalare la soluzione in cui i punti (le radici) sono disposte nella maniera corretta
il mio problema è che non riesco a risolvere nemmeno l argomento del numero complesso
grazie mille
potete farmi vedere come si risolve questo esercizio?
determina le radici quarte di: z = 20 - i
praticamente il testo dell esercizio mi da 4 grafici con 4 soluzioni di punti sul piano cartesiano e io devo segnalare la soluzione in cui i punti (le radici) sono disposte nella maniera corretta
il mio problema è che non riesco a risolvere nemmeno l argomento del numero complesso
grazie mille
Risposte
Se come risposta devi indicare un grafico forse vuol dire che l'esercizio va risolto per via grafica senza determinare esplicitamente le radici.
L'argomento è $arctg (-1/20)$ o equivalentemente $-arctg(1/20)$. Questo ti basta per poterlo rappresentare graficamente. Se vuoi un valore numerico usi una calcolatrice.
Poi devi calcolare le radici quarte, ma se ho capito bene la tua difficoltà consiste nel fatto che non ha trovato uno degli angoli notevoli. Se è così devi solo imparare ad accettare questi risultati.
Poi devi calcolare le radici quarte, ma se ho capito bene la tua difficoltà consiste nel fatto che non ha trovato uno degli angoli notevoli. Se è così devi solo imparare ad accettare questi risultati.
eh ma come risalgo all argomento senza una calcolatrice?
cioe io all esame la calcolatrice non la posso usare allora ho pensato che l argomento dell arcotan fosse tendente a 0
da cui arctan0 = 0 ma col meno davanti dovrebbe risultare circa TT/2
o mi sbaglio?
cioe io all esame la calcolatrice non la posso usare allora ho pensato che l argomento dell arcotan fosse tendente a 0
da cui arctan0 = 0 ma col meno davanti dovrebbe risultare circa TT/2
o mi sbaglio?
Ripeto che l'argomento è [tex]- arctg( \frac{1}{2})[/tex] ed è un numero perfettamente accettabile. Usare la calcolatrice serve solo per esprimere questo numero in forma decimale, ma è un capriccio che non serve a nulla in realtà (in linea di principio si può calcolare con lo sviluppo in serie di Taylor con resto di Lagrange, ma a meno che non ti venga espressamente richiesto, è meglio evitare perchè tanto non serve).
Trascurando per un attimo il disegno, da qui riesci a calcolare le radici quarte?
Trascurando per un attimo il disegno, da qui riesci a calcolare le radici quarte?
scusami ma non sono molto bravo nel campi dei complessi.
non saprei come calcolare le radici con un argomento del genere
non saprei come calcolare le radici con un argomento del genere
No problem, comunque ti accorgerai che la tua difficoltà non ha a che fare con i numeri complessi.
Scriviamo il numero dato in forma trigonometrica:
[tex]z = 20 - i = \sqrt{401} \left [ \cos \left ( \arctan \left ( - \frac{1}{20} \right ) + 2k \pi \right ) + i \sin \left ( \arctan \left ( - \frac{1}{20} \right ) + 2k \pi \right ) \right ][/tex]
Dunque le radici quarte sono date da:
[tex]z^{1/4} = 401^{1/8} \left [ \cos \left ( \frac{1}{4} \arctan \left ( - \frac{1}{20} \right ) + k \frac{ \pi}{2} \right ) + \frac{i}{4} \sin \left ( \frac{1}{4} \arctan \left ( - \frac{1}{20} \right ) + k \frac{ \pi}{2} \right ) \right ][/tex]
Per $k=0,1,2,3$ ottieni le 4 radici che cerchi. Come vedi, una volta disegnata la prima, le altre si ottengono ruotando di $90°$. Come disegnare la prima?
P. s.: La scrittura può anche essere modificata, ma così per come è va benissimo.
Scriviamo il numero dato in forma trigonometrica:
[tex]z = 20 - i = \sqrt{401} \left [ \cos \left ( \arctan \left ( - \frac{1}{20} \right ) + 2k \pi \right ) + i \sin \left ( \arctan \left ( - \frac{1}{20} \right ) + 2k \pi \right ) \right ][/tex]
Dunque le radici quarte sono date da:
[tex]z^{1/4} = 401^{1/8} \left [ \cos \left ( \frac{1}{4} \arctan \left ( - \frac{1}{20} \right ) + k \frac{ \pi}{2} \right ) + \frac{i}{4} \sin \left ( \frac{1}{4} \arctan \left ( - \frac{1}{20} \right ) + k \frac{ \pi}{2} \right ) \right ][/tex]
Per $k=0,1,2,3$ ottieni le 4 radici che cerchi. Come vedi, una volta disegnata la prima, le altre si ottengono ruotando di $90°$. Come disegnare la prima?
P. s.: La scrittura può anche essere modificata, ma così per come è va benissimo.
quindi per disegnare la prima radice, prendo k=0 e segno l angolo determinato da cos (arctan -1/20) e sin(arctan -1/20)
quindi un coseno che vale poco meno di 1
e un seno che vale poco meno di 0
giusto?
grazie mille
quindi un coseno che vale poco meno di 1
e un seno che vale poco meno di 0
giusto?
grazie mille
Sì, puoi essere preciso se usi un foglio a quadretti.
Dato un sistema di riferimento goniometrico, prendi un punto di coordinate (20,-1) e lo congiungi con l'origine; questo ti dà il primo angolo.
Gli altri si ottengono congiungendo con l'origine i punti di coordinate (1,20) (-20,1) e (-1,-20).
Dato un sistema di riferimento goniometrico, prendi un punto di coordinate (20,-1) e lo congiungi con l'origine; questo ti dà il primo angolo.
Gli altri si ottengono congiungendo con l'origine i punti di coordinate (1,20) (-20,1) e (-1,-20).
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