Esercizio veloce: funzioni a più variabili

[Geronimo2]

Ciao a tutti

Vi espongo rapidamente un dubbio che ho a riguardo di questo esercizio:



Fino terzo punto non ho trovato alcun tipo di problema, quindi direi di passare direttamente al quarto e ultimo punto, dove abbiamo a che fare con una funzione definita per casi di cui dobbiamo discutere derivabilità e differenziabilità.

Procedo studiando l'esistenza delle derivate parziali, ed è proprio qua che mi sorge il dubbio. La soluzione in tale passaggio dice (espongo il solo risultato per la derivata parziale rispetto $x$):



Perché $f(h,0)=0$? Non c'è uno $0$ al denominatore nell'argomento del seno? Nonostante sia un limite di una funzione limitata per una limitata, comunque non capisco perché venga banalmente detto che il risultato è $0$ quando c'è un assurdo matematico (denominatore pari a $0$).

[Summerwind78]

Ciao

non vorrei sbagliarmi ma secondo me dipende dal fatto che avendo uno zero al denominatore della funzione seno



$lim_(x->0) (0\cdot x \cdot sin(1/(0\cdot x))) = 0\cdot 0 \cdot sin(oo)$

dove per $alpha -> oo$, hai che $sin(alpha)$, pur non sapendo quanto vale, sai che ha un valore finito sempre compreso tra $-1$ e $1$

pertanto avrai

$lim_(x->0) (0\cdot x \cdot sin(1/(0\cdot x))) = 0\cdot 0 \cdot [-1, 1] = 0$

ti torna?

[Geronimo2]

"Summerwind78":
ti torna?

Si, il fatto che il seno sia limitato e si possa, in generale, fare un ragionamento del genere mi torna. Il mio problema è nel vedere quello 0 al denominatore, che non è un termine che tende a 0, ma è proprio lo 0 "in carne ed ossa", che ad un denominatore non ci dovrebbe mai stare!

[Summerwind78]

È proprio per quello che si fa il limite

[Overflow94]

La funzione non è definita in (x,0) o in (0,y) però ammette limite in questi valori quindi sono punti di discontinuità eliminabili. Di solito quando una funzione ha dei punti di discontinuità eliminabili si sotto intende che in quei punti sia definita uguale al valore del limite.