Esercizio Variabile Complessa
Ciao a tutti, come da titolo avevo un dubbio riguardante un esercizio di variabile complessa, il cui testo è questo:
Sia $f: CC \to CC$ una funzione olomorfa e sia $R>=0$ tale che $|f(z)|<=|e^z|$ per ogni $z$ con $|z| > R$. Dimostrare che $f(z) = a*e^z$ con $a$ un numero complesso con $|a| <= 1$.
Ma visto che il prodotto di funzioni olomorfe è olomorfo, non basterebbe $f(z) = g(z)*e^z$ con $|g(z)| <= 1$ per ogni z per rendere vera l'ipotesi addirittura per R=0? ad esempio $f(z) = sin(z)*e^z$?
Sia $f: CC \to CC$ una funzione olomorfa e sia $R>=0$ tale che $|f(z)|<=|e^z|$ per ogni $z$ con $|z| > R$. Dimostrare che $f(z) = a*e^z$ con $a$ un numero complesso con $|a| <= 1$.
Ma visto che il prodotto di funzioni olomorfe è olomorfo, non basterebbe $f(z) = g(z)*e^z$ con $|g(z)| <= 1$ per ogni z per rendere vera l'ipotesi addirittura per R=0? ad esempio $f(z) = sin(z)*e^z$?
Risposte
Intanto occhio perchè in $\CC$ non è vero che $|sin(z)|<=1$
Onestamente faccio fatica a capire il senso dell'esercizio.
Si vuole che si dimostri che $ae^z$ soddisfa l'ipotesi ?
Si vuole che si dimostri che $ae^z$ è l'unica funzione che soddisfa l'ipotesi ?
Nel primo caso è piuttosto semplice, nel secondo caso è più complicato.
Onestamente faccio fatica a capire il senso dell'esercizio.
Si vuole che si dimostri che $ae^z$ soddisfa l'ipotesi ?
Si vuole che si dimostri che $ae^z$ è l'unica funzione che soddisfa l'ipotesi ?
Nel primo caso è piuttosto semplice, nel secondo caso è più complicato.
"HSIN":
Ma visto che il prodotto di funzioni olomorfe è olomorfo, non basterebbe $f(z) = g(z)*e^z$ con $|g(z)| <= 1$ per ogni z per rendere vera l'ipotesi addirittura per R=0?
Come no. Solo che per il teorema di Liouville, una funzione olomorfa e limitata è per forza una costante.
ad esempio $f(z) = sin(z)*e^z$?
Mi accodo a Quinzio nel rimarcare che il seno complesso non è affatto una funzione limitata: del resto, se lo fosse, sarebbe costante.
@Quinzio: E' il secondo caso.
Perfetto grazie mille, allora adesso le cose vanno molto meglio. Allora tento un approccio di risoluzione dell'esercizio, scusate eventuali errori grossolani ma come avete visto dal modulo del seno non sono ancora molto pratico con le funzioni complesse.
Sia $f$ la funzione in questione. $f(z)$ può sempre essere scritta come $g(z)*e^z$, perché l'esponenziale non si annulla mai. Questa $g(z) = f(z)/e^z$ deve essere olomorfa, perché $f(z)$ e $e^z$ lo sono. Ora $|g(z)| <= 1$ $AAz$ tale che $|z| > R$, ma essendo $g$ continua in $CC$ il suo modulo è limitato nella palla di raggio $R$, quindi applicando il teorema di Liouville $g(z) = a$, con $a in CC$, e $|a| <= 1$ per non violare le ipotesi. Giusto o sbagliato?
Sia $f$ la funzione in questione. $f(z)$ può sempre essere scritta come $g(z)*e^z$, perché l'esponenziale non si annulla mai. Questa $g(z) = f(z)/e^z$ deve essere olomorfa, perché $f(z)$ e $e^z$ lo sono. Ora $|g(z)| <= 1$ $AAz$ tale che $|z| > R$, ma essendo $g$ continua in $CC$ il suo modulo è limitato nella palla di raggio $R$, quindi applicando il teorema di Liouville $g(z) = a$, con $a in CC$, e $|a| <= 1$ per non violare le ipotesi. Giusto o sbagliato?
Giusto.
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