Esercizio usando Beppo-Levi

[Mrhaha]

Salve ragazzi!
Stavo affrontando il seguente esercizio di Analisi 3:
“ Calcolare, giustificando il procedimento, la somma della serie: $ sum_(n=0)^(oo) int_ 0 ^ {pi/2} (1- \sqrt (sin x) )^n cos x dx$, senza calcolare i singoli addendi”.
Il fatto è che non riesco ad impostarlo. Ho provato pensando alla serie suddetta come seri e di potenza, ma non ottengo un grande risultato. Sicuramente devo usare il teorema di Beppo-Levi. Mi date qualche hint?
Dove potrei trovare esercizi del genere? Su internet non ne ho trovati… :-/
Grazie per la disponibilità!

[gugo82]

Innanzitutto, prova a portare la somma sotto il segno d'integrale e scopri cosa vien fuori.
Se tutto va bene, ti troverai a calcolare un integrale semplice.

Fatto ciò, preoccupati di giustificare il passaggio della serie sotto integrale (usando il teorema di Beppo Levi*, i.e. il teorema di convergenza monotona, o similia).


__________
* Senza trattino, perchè si tratta di nome e cognome del matematico in questione, nato nel 1875 a Torino e morto nel 1961 in Argentina, poiché costretto ad emigrare (come tanti altri, tipo Guido Fubini) dopo l'approvazione delle infami leggi razziali del 1938. Per maggiori info, si può consultare questo necrologio (di G. Cimmino) o WIKI.
Credo che il teorema porti nome e cognome dello scopritore per evitare omonimie: infatti, anche il fratello di Beppo Levi, Eugenio Elia, fu un noto matematico.

[Mrhaha]

Ciao Gugo!
Sinceramente davo per scontato che fossero due persone diverse! Questa cosa mi sorprende!
Tornando all’esercizio, io quel passaggio posso farlo perché durante il corso abbiamo dimostrato un corollario del teorema di Beppo Levi che dice:
“Se $E$ è un insieme misurabile e $g_n $ va da $E$ in $RR$ una successione di funzioni misurabili e non negative quasi ovunque. Detta $f(x)= sum (i=1) (+ oo) g_i(x)$ si ha $ int_E f(x) dx= sum (i=1) (+ oo) int_E g_i(x) dx$”.
Le ipotesi del corollario vengono verificate abbondantemente in questo caso, perché l’intervallo è ovviamente misurabile, le $g_i$ sono continue e perciò misurabili e non negative sempre ( e quindi più che q.o.).
Le ipotesi sono rispettate, ma adesso comincia il brutto. Quella serie dovrebbe essere qualcosa di “notevole”?

[gugo82]

Hint: Serie geometrica...

[Mrhaha]

Infatti... ieri mi sono illuminato! Grazie Gugo!

[gugo82]

Ok... Allora vediamo se ho fatto bene i conti.

Chiamiamo \(I\) la quantità da calcolare.
Dato che \(\cos x\geq 0\) e che \(0\leq 1-\sqrt{\sin x}\leq 1\) in \([0,\pi/2]\), si ha:
\[
0\leq (1-\sqrt{\sin x})^n\ \cos x
\]
quindi si può applicare il Teorema di Beppo Levi per le serie di funzioni nonnegative e concludere che è lecito passare la somma sotto il segno d'integrale, di modo che:
\[
\begin{split}
I &= \int_0^{\pi/2} \cos x\ \sum_{n=0}^\infty (1-\sqrt{\sin x})^n\ \text{d} x\\
&= \int_0^{\pi/2} \frac{\cos x }{\sqrt{\sin x}}\ \text{d} x\\
& \stackrel{t=\sin x}{=} \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{t}}\ \text{d} t\\
&= 2\ \sqrt{t}\Big|_0^1\\
&= 2.
\end{split}
\]

*** EDIT: Corretto uno strafalcione notevole!
Grazie Mrhaha.

[Mrhaha]

Gugo, "spoilerizzo anche io...

scusami, ma usando il fatto che $sum_{n=0}^\infty x^n = 1/(1-x)$ e quindi da ciò:
$sum_{n=0}^\infty (1-\sqrt{\sin x})^n = 1 /(1-(1- sqrt(sin x)))= 1/ sqrt(sinx)$, giusto?

[gugo82]

Sì, infatti ho fatto un errore di conto.
Mo' correggo, và...

[Mrhaha]

Posso chiederti un'altra cosa? Sai di qualche testo di esercizi a riguardo?

Ps: ovviamente sono sicuro sia stato solo un errore per la fretta!

[Mrhaha]

Che bello! Mi trovo!

[gugo82]

"Mrhaha"::D Posso chiederti un'altra cosa? Sai di qualche testo di esercizi a riguardo?

Mmmm... Eserciziari di Analisi Superiore non ce ne sono tanti.
Una volta avevo delle dispense con degli esercizi, ma non so che fine abbiano fatto. Se le trovo le scansiono e te le passo.

Per il resto, che libro state usando per la teoria?
Sul Rudin, Real and Complex Analysis, ci sono un po' di esercizi, ma sono teorici (per lo più).
Probabilmente qualche esercizio di calcolo lo trovi sul Gilardi, Analisi III, MacGraw-Hill (libro impaginato in maniera davvero detestabile, ma con un sacco di carne al fuoco!); tra l'altro, mi pare che sulla pagina web di Gilardi ci siano i testi degli esami da cui attingere... Prova a cercare.
Qualche esercizio lo trovi in alcune prove d'esame del prof. Coti Zelati.

Per altro materiale, prova a chiedere al docente.

"Mrhaha":Ps: ovviamente sono sicuro sia stato solo un errore per la fretta!

Pura e semplice distrazione, non fretta... Ero sovrappensiero.

[Mrhaha]

Noi stiamo usando il Royden, devo controllare sul Rudin!
Devo vedere se trovo quello della MacGraw-Hill!
Ora posso mettermi al lavoro!
Grazie Gugo!