Esercizio tosto...per me

[miuemia]

sia $S$ una superficie di Riemann compatta e $\omega$, $\phi$ $1-$forme su $S$ tali che
$int_{\gamma}omega=int_{\gamma}\phi$ per ogni $\gamma$ curva regolare su $S$ allora dimostrare che $\omega=\phi$...
qualche aiuto o suggermimento??
io ho provato a supporre che per assurdo $\omega>\phi$ ma non vado molto lontano.

[alberto861]

supponi per assurdo che gli itegrali coincidano per ogni curva ma che le funzioni siano diverse..usando parametrizzazioni locali lo puoi far diventare un integrale in $R^n$ e poi ti scegli(tanto vale per ogni curva) per comodità come curva in $R^n$ una retta per esempio l'asse e1..a quel punto se fossero diverse dalla continuità troveresti un intervallino sulla retta per cui non coincidono per cui la differenza degli integrali è maggiore in modulo del minimo delle distanze tra le due funzioni(>0 perchè le funzioni non coincidono)per la lunghezza dell'intervallino che contraddice il fatto che la differenza degli integrali deve essere nulla..puuò andare?

[miuemia]

non saprei....

[Fioravante Patrone1]

Ma si che va bene...

Se non sono uguali c'e' un intorno di un punto in cui una coordinata di omega e' (ad esempio) maggiore strettamente di phi + epsilon. In coordinate locali.

Come dice albetrto86 integri lungo la coordinata (in una base locale) corrispondente alla coordinata per cui vale la disuguaglianza di cui sopra. Baste che come gamma prendi la curva ottenuta dalla parametrizzaizone di un segmentino.

I noiosissimi dettagli li lasciamo a te.

[miuemia]

grazie mille a entrambi....