Esercizio Topologia
$ C^0([-1,1]) $Ho un dubbio su un passaggio matematico in questo esercizio.
Dice:
Si consideri lo spazio metrico completo $ C^0([-1,1]) $ delle funzioni continue nell'intervallo $ [-1, 1] $ a valori complessi con la distanza
$ d(f,g)= Sup _(-1<=x<=1) |f(x)-g(x)| $
Si determini se la successione di funzioni $ f_n(x)= sqrt(1/n+x^2) $ è di Cauchy.
Nella risoluzione dell'esercizio mi dice che la successione è di Cauchy in quanto
$ d(f_n,f_m)= Sup_(-1<=x<=1)|sqrt(1/n+x^2) -sqrt(1/m+x^2)| = |1/n-1/m| to 0 $
Come fa ad arrivare a $ |1/n-1/m| $ ?? Grazie per la risposta.
Dice:
Si consideri lo spazio metrico completo $ C^0([-1,1]) $ delle funzioni continue nell'intervallo $ [-1, 1] $ a valori complessi con la distanza
$ d(f,g)= Sup _(-1<=x<=1) |f(x)-g(x)| $
Si determini se la successione di funzioni $ f_n(x)= sqrt(1/n+x^2) $ è di Cauchy.
Nella risoluzione dell'esercizio mi dice che la successione è di Cauchy in quanto
$ d(f_n,f_m)= Sup_(-1<=x<=1)|sqrt(1/n+x^2) -sqrt(1/m+x^2)| = |1/n-1/m| to 0 $
Come fa ad arrivare a $ |1/n-1/m| $ ?? Grazie per la risposta.
Risposte
Hai che
\begin{align}
0\le \left|\sqrt{\frac{1}{n}+x^2}-\sqrt{\frac{1}{m}+x^2}\right|&=\left| \frac{\frac{1}{n}-\frac{1}{m}}{\sqrt{\frac{1}{n}+x^2}+\sqrt{\frac{1}{m}+x^2}} \right|= \frac{\left| \frac{1}{n}-\frac{1}{m} \right|}{\sqrt{\frac{1}{n}+x^2}+\sqrt{\frac{1}{m}+x^2}}\\
&\le \frac{\left| \frac{1}{n}-\frac{1}{m} \right|}{2|x| }\le \left| \frac{1}{n}-\frac{1}{m} \right|
\end{align}
\begin{align}
0\le \left|\sqrt{\frac{1}{n}+x^2}-\sqrt{\frac{1}{m}+x^2}\right|&=\left| \frac{\frac{1}{n}-\frac{1}{m}}{\sqrt{\frac{1}{n}+x^2}+\sqrt{\frac{1}{m}+x^2}} \right|= \frac{\left| \frac{1}{n}-\frac{1}{m} \right|}{\sqrt{\frac{1}{n}+x^2}+\sqrt{\frac{1}{m}+x^2}}\\
&\le \frac{\left| \frac{1}{n}-\frac{1}{m} \right|}{2|x| }\le \left| \frac{1}{n}-\frac{1}{m} \right|
\end{align}
Oddio...... no scusa ma proprio non mi è chiaro... tra l'altro anche la prima uguaglianza, come fai a dire che è così ?
Ha razionalizzato per la prima. La disuguaglianza viene dal fatto che la somma di quelle due radici è maggiore di \(2\lvert x\rvert\). L'ultima disuguaglianza invece è proprio falsa: \(-1\le x\le 1\)!.
Quindi non è corretto???
Non so, quello che dico è che è sbagliato l’ultimo passaggio della dimostrazione. Al contrario è invece vero che il \(\sup\) è quello segnalato.
Siccome \(\displaystyle x^2 + \frac{1}{n}\) è positivo allora si può supporre che si sia scelto \(n
La derivata è \(\displaystyle x \Biggl[\biggl(\frac1n + x^2 \biggr)^{-\frac12} - \biggl( \frac1m + x^2 \biggr)^{-\frac12}\Biggr] \) cioè \(\displaystyle x \biggl(\sqrt{ \frac1m + x^2 } - \sqrt{ \frac1n + x^2 }\biggr)\biggl(\frac1n + x^2 \biggr)^{-\frac12}\biggl( \frac1m + x^2 \biggr)^{-\frac12} \) che ha segno opposto rispetto a \(x\) e è \(\displaystyle 0 \) in \(\displaystyle 0 \).
Siccome \(\displaystyle x^2 + \frac{1}{n}\) è positivo allora si può supporre che si sia scelto \(n
La derivata è \(\displaystyle x \Biggl[\biggl(\frac1n + x^2 \biggr)^{-\frac12} - \biggl( \frac1m + x^2 \biggr)^{-\frac12}\Biggr] \) cioè \(\displaystyle x \biggl(\sqrt{ \frac1m + x^2 } - \sqrt{ \frac1n + x^2 }\biggr)\biggl(\frac1n + x^2 \biggr)^{-\frac12}\biggl( \frac1m + x^2 \biggr)^{-\frac12} \) che ha segno opposto rispetto a \(x\) e è \(\displaystyle 0 \) in \(\displaystyle 0 \).
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