Esercizio teorico - Teorema Lagrange

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26 gen 2011, 09:33

Sia [tex]f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/tex] derivabile. Sia [tex]\lim_{x \rightarrow + \infty} (f(x) -2x) = 1[/tex] e [tex]\lim_{x \rightarrow - \infty} (f(x)+x)=-1[/tex].
Provare che [tex]]-1,2[ \; \subseteq f'(\mathbb{R})[/tex].

Se provo che [tex]\forall \mu \in \; ]-1,2[ \, , \exists x_1,x_2 \in \mathbb{R}[/tex] t.c. [tex]\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} = \mu[/tex] allora il teo. di Lagrange mi garantisce l'esistenza di un [tex]s \in \mathbb{R}[/tex] t.c. [tex]f'(s)=\mu[/tex] e quindi [tex]]-1,2[ \; \subseteq f'(\mathbb{R})[/tex]. Ma come dimostrare l'esistenza di questi due punti?

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Scusami hai ragione, ho corretto $1$ con $-1$.

Risposte

Rigel1

26 gen 2011, 08:57

Nelle ipotesi che hai fatto mi sembra che si possa concludere che $]-1,2[\subseteq f'(\mathbb{R})$.
Io procederei così:
fissa $\mu\in (-1,2)$ e considera la funzione ausiliaria $g(x) = f(x) - \mu x$.
Dalle ipotesi ricavi che $\lim_{x\to \pm\infty} g(x) = +\infty$.
Fissato $M > g(0)$, un'opportuna applicazione del teorema degli zeri garantisce l'esistenza di due punti $x_1<0$ e $x_2>0$ t.c. $g(x_1) = g(x_2) = M$.
Per il teorema di Rolle esiste $c\in (x_1, x_2)$ t.c. $g'(c) = 0$, cioè t.c. $f'(c) = \mu$.