Esercizio teorico su integrali impropri.
Salve a tutti! Avrei bisogno di un aiuto per una dimostrazione.
Mi si chiede di dimostrare che, se f(x):[0,+oo)->RR è decrescente, infinitesima per x->+oo, allora l'integrale improprio da 0 a +oo di f(x)senx è convergente.
Non saprei proprio cosa fare. Consigli?
Mi si chiede di dimostrare che, se f(x):[0,+oo)->RR è decrescente, infinitesima per x->+oo, allora l'integrale improprio da 0 a +oo di f(x)senx è convergente.
Non saprei proprio cosa fare. Consigli?
Risposte
Com'è l'andamento di $f(x)\sin(x)$ ? A parole come lo descriveresti ?
Pensandoci su un po' mi è venuto in mente di fare un parallelo con le serie numeriche, sfruttando il criterio di leibniz sulla convergenza delle serie a segni alterni. E guardando il tuo commento forse sono sulla strada giusta?
Ok, credo di esserci arrivato.
In pratica, scrivo $ \int_{0}^{b}\f(x)senx\ dx =\sum_{}[\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\f(x)senx\ dx] + \int_{(k+1)\pi}^{b}\ f(x)senx\ dx\ $
in cui la somma va da k=0 a k=n, con n il più piccolo intero tale che b=n*pi+r con r in [0, pi).
Siccome il seno è minore è uguale di zero negli intervalli [(2n+1)pi, (2n+2)pi], anche l'integrale di f(x)senx avrà stesso segno in quegli intervalli, perché f è positiva (tende a zero ed è decrescente).
Stesso discorso negli intervalli in cui il seno è positivo, che sono quelli in cui il k della sommatoria è pari.
Poiché f va a zero, anche gli integrali negli intervallini vanno a zero per n che va all'infinito.
In poche parole posso scrivermi una serie del tipo $(-1)^n\ a_n$ con $a_n$ positiva, decrescente e tendente zero.
La serie è convergente e quindi converge anche l'integrale.
In pratica, scrivo $ \int_{0}^{b}\f(x)senx\ dx =\sum_{}[\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\f(x)senx\ dx] + \int_{(k+1)\pi}^{b}\ f(x)senx\ dx\ $
in cui la somma va da k=0 a k=n, con n il più piccolo intero tale che b=n*pi+r con r in [0, pi).
Siccome il seno è minore è uguale di zero negli intervalli [(2n+1)pi, (2n+2)pi], anche l'integrale di f(x)senx avrà stesso segno in quegli intervalli, perché f è positiva (tende a zero ed è decrescente).
Stesso discorso negli intervalli in cui il seno è positivo, che sono quelli in cui il k della sommatoria è pari.
Poiché f va a zero, anche gli integrali negli intervallini vanno a zero per n che va all'infinito.
In poche parole posso scrivermi una serie del tipo $(-1)^n\ a_n$ con $a_n$ positiva, decrescente e tendente zero.
La serie è convergente e quindi converge anche l'integrale.
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