Esercizio teorico - limite della derivata
Vorrei provare a dimostrare il seguente fatto (se è vero):
Proposizione: $f : RR -> RR$, derivabile.
Se $lim_(x -> +oo ) f(x) = 0$ allora $lim_(x -> +oo ) f'(x) = 0$
Svolgimento:
Considero l'intervallo $[ x_0 , x ]$ e applico Lagrange:
$EE xi in ] x_0 , x [$ tale che $f'(xi) = (f(x) - f(x_0))/(x - x_0)$
Per $x -> +oo$, anche $xi -> +oo$ :
$lim_(x -> +oo) f'(xi) = lim_(x -> +oo) (f(x) - f(x_0))/(x - x_0) = 0$
Ma questo implica $lim_(x -> +oo) f'(x) = 0$ ?
Grazie.
Proposizione: $f : RR -> RR$, derivabile.
Se $lim_(x -> +oo ) f(x) = 0$ allora $lim_(x -> +oo ) f'(x) = 0$
Svolgimento:
Considero l'intervallo $[ x_0 , x ]$ e applico Lagrange:
$EE xi in ] x_0 , x [$ tale che $f'(xi) = (f(x) - f(x_0))/(x - x_0)$
Per $x -> +oo$, anche $xi -> +oo$ :
$lim_(x -> +oo) f'(xi) = lim_(x -> +oo) (f(x) - f(x_0))/(x - x_0) = 0$
Ma questo implica $lim_(x -> +oo) f'(x) = 0$ ?
Grazie.
Risposte
Mi sono accorto che se la dimostrazione effettivamente funziona, si può sostituire l'ipotesi con la più generale condizione:
$lim_(x -> +oo ) f(x) = L in RR$ ...
$lim_(x -> +oo ) f(x) = L in RR$ ...
Questa proposizione è falsa.
Infatti una funzione può andare a zero ma oscillando abbastanza velocemente, in modo da non fare andare a zero la derivata.
Se non sbaglio, basta prendere ad esempio
$f(x) = \frac{\sin x^3}{x}$.
Questa funzione ha la derivata illimitata.
Infatti una funzione può andare a zero ma oscillando abbastanza velocemente, in modo da non fare andare a zero la derivata.
Se non sbaglio, basta prendere ad esempio
$f(x) = \frac{\sin x^3}{x}$.
Questa funzione ha la derivata illimitata.
Il fatto mi pare falso. Gioca un po' con $frac{ sin x}{x^p}$, per qualche valore di $p$ credo salti fuori un controesempio.
P.S. Scrivevo insieme a Rigel.
P.S. Scrivevo insieme a Rigel.
Deduco che la dimostrazione sia orrendamente falsa, allora. 
Grazie mille.
Grazie mille.
Scusate ancora, ma non capisco l'errore che ho fatto.
Beh, sì, è piuttosto falsa.
Per ogni $x>x_0$ ottieni un punto $\xi_x\in (x_0, x)$ t.c....
Il problema è che non sai dovi si trovino questi punti $\xi_x$; in particolare non hai nemmeno la garanzia che $\xi_x\to +\infty$ per $x\to +\infty$, e anche se questo avvenisse non hai garanzie che $\xi_x$ si muova coprendo tutta la semiretta.
In realtà puoi fare in modo che $\xi_x$ vada a $+\infty$, applicando il teorema di Lagrange nell'intervallo $[x, x+1]$ per ogni $x$.
Ma vale la seconda obiezione fatta sopra; non a caso, è necessario che la funzione oscilli sempre più rapidamente per $x\to +\infty$ per riuscire a costruire un controesempio.
Per ogni $x>x_0$ ottieni un punto $\xi_x\in (x_0, x)$ t.c....
Il problema è che non sai dovi si trovino questi punti $\xi_x$; in particolare non hai nemmeno la garanzia che $\xi_x\to +\infty$ per $x\to +\infty$, e anche se questo avvenisse non hai garanzie che $\xi_x$ si muova coprendo tutta la semiretta.
In realtà puoi fare in modo che $\xi_x$ vada a $+\infty$, applicando il teorema di Lagrange nell'intervallo $[x, x+1]$ per ogni $x$.
Ma vale la seconda obiezione fatta sopra; non a caso, è necessario che la funzione oscilli sempre più rapidamente per $x\to +\infty$ per riuscire a costruire un controesempio.
Questo risultato mi serviva per dimostrare un'altra proposizione. In realtà tra le ipotesi avrei anche che $f$ è due volte derivabile e $f''(x) > 0, AA x in RR$.
L'essere convessa escluderebbe il carattere oscillatorio e forse garantirebbe la conclusione, ma temo che a questo punto esistano vie più semplici.
L'essere convessa escluderebbe il carattere oscillatorio e forse garantirebbe la conclusione, ma temo che a questo punto esistano vie più semplici.
Adesso confessi!
Certo, la convessità impedisce questo comportamento oscillatorio (e infatti, in quel caso, la proposizione è vera).
Non ti so dire su due piedi quale sia la dimostrazione più rapida; io la farei per assurdo, tenendo conto del fatto che, per una funzione convessa e derivabile sulla semiretta $(a, +\infty)$, esiste sempre (finito o $+\infty$) il $\lim_{x\to +\infty} f'(x)$, dal momento che $f'$ è una funzione monotona crescente.
Anzi, adesso che ci penso, se non ricordo male avevi già fatto un esercizio in cui si dimostra che se esiste $\lim_{x\to +\infty} f'(x) = L \ne 0$, allora la funzione non può avere un asintoto orizzontale (o non eri tu?).
Certo, la convessità impedisce questo comportamento oscillatorio (e infatti, in quel caso, la proposizione è vera).
Non ti so dire su due piedi quale sia la dimostrazione più rapida; io la farei per assurdo, tenendo conto del fatto che, per una funzione convessa e derivabile sulla semiretta $(a, +\infty)$, esiste sempre (finito o $+\infty$) il $\lim_{x\to +\infty} f'(x)$, dal momento che $f'$ è una funzione monotona crescente.
Anzi, adesso che ci penso, se non ricordo male avevi già fatto un esercizio in cui si dimostra che se esiste $\lim_{x\to +\infty} f'(x) = L \ne 0$, allora la funzione non può avere un asintoto orizzontale (o non eri tu?).
"Rigel":
Adesso confessi!
Per amor di completezza lo riporto tutto:
Esercizio: Sia $f : RR -> RR$ , due volte derivabile; si supponga inoltre $lim_(x -> +oo) f(x) = 0$ e $f''(x) > 0$ , $AA x in RR$.
Si dimostri che $f$ è positiva (1), decrescente (2) e che $lim_(x -> - oo) f(x) = +oo$ (3).
L'idea era quella di provare che $lim_(x -> +oo) f'(x) = 0$.
Poiché $f$ è convessa e derivabile, $f'$ è monotona crescente, quindi il limite per $x -> +oo$ è $0 = "sup"_(RR) f'$ (per il teorema di esistenza del limite per funzioni monotone su $f'$). Il $"sup"$ è un maggiorante dell'insieme dei valori assunti da $f'$, quindi $f' <= 0$ ovunque. Quindi la funzione $f$ è monotona decrescente (2). In quanto tale, $f$ ha per limite per $x -> +oo$ l'estremo inferiore dei valori assunti da $f$, e vale $0$. Quindi $f >= 0$ su tutto $RR$ (1). E la (3) forse si può dimostrare con Lagrange senza difficoltà.
"Rigel":
Anzi, adesso che ci penso, se non ricordo male avevi già fatto un esercizio in cui si dimostra che se esiste $\lim_{x\to +\infty} f'(x) = L \ne 0$, allora la funzione non può avere un asintoto orizzontale (o non eri tu?).
Forse intendi questo: http://www.matematicamente.it/forum/esercizio-limiti-derivabilita-t67395.html
In effetti me ne ricordavo e mi era venuto in mente Lagrange per questo motivo!
Quello che hai scritto va bene.
In realtà, poiché $f''>0$, hai che $f'$ è strettamente monotona crescente (mentre $f$ è strettamente monotona decrescente).
Quindi, se prendi un qualsiasi punto $x_0\in\mathbb{R}$, devi avere $f'(x_0) < 0$; usando la tecnica già vista della retta supporto arrivi subito a concludere (3).
In realtà, poiché $f''>0$, hai che $f'$ è strettamente monotona crescente (mentre $f$ è strettamente monotona decrescente).
Quindi, se prendi un qualsiasi punto $x_0\in\mathbb{R}$, devi avere $f'(x_0) < 0$; usando la tecnica già vista della retta supporto arrivi subito a concludere (3).
"Rigel":
Quello che hai scritto va bene.
In realtà, poiché $f''>0$, hai che $f'$ è strettamente monotona crescente (mentre $f$ è strettamente monotona decrescente).
Quindi, se prendi un qualsiasi punto $x_0\in\mathbb{R}$, devi avere $f'(x_0) < 0$; usando la tecnica già vista della retta supporto arrivi subito a concludere (3).
Grazie Rigel.
Secondo te andrebbe bene anche considerare "il magico" Lagrange su $[ x , x_0 ]$ ? Scrivendo:
$f(x) = f(x_0) + f'(xi) ( x - x_0 )$
E quindi, poiché $f'(xi) < 0$, ho:
$lim_( x -> -oo) f(x) = lim_( x -> -oo) f(x_0) + f'(xi) ( x - x_0 ) = +oo$
Qui c'è sempre il problema che $\xi$ dipende da $x$; di conseguenza, è vero che $f'(\xi_x) < 0$, ma potrebbe anche darsi che
$\lim_{x\to -\infty} f'(\xi_x) (x-x_0) = 0$.
(Ovviamente questo non avviene nel nostro caso, perché $f'$ è monotona decrescente, ma l'argomento diventa più complicato rispetto al precedente.)
$\lim_{x\to -\infty} f'(\xi_x) (x-x_0) = 0$.
(Ovviamente questo non avviene nel nostro caso, perché $f'$ è monotona decrescente, ma l'argomento diventa più complicato rispetto al precedente.)
Il problema di prima è che consideravo $xi_x$ come variabile. Quindi non funziona neanche se, in quell'equazione, considero $f'(xi)$ semplicemente come una quantità negativa... Ho capito, grazie.
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