Esercizio teorico - f. derivabile e teo. degli zeri
Sia $f : [ 0 , 1 ] -> RR$ derivabile. Si supponga inoltre che $f(0) = f(1) = 1$ e che l'insieme $Z$ degli zeri della funzione abbia $7$ elementi.
Dimostrare che esiste $bar x in Z$ tale che $f'(bar x ) = 0$.
Idea:
Supponiamo per assurdo che non esista nessun punto di $Z$ in cui la derivata prima si annulli. (**)
$Z = { x_1 , x_2 , ... , x_7 }$
In $[0 , x_1[$ la funzione è strettamente positiva (se per assurdo cambiasse di segno si potrebbe applicare il teorema degli zeri e si troverebbe uno zero di $f$, $x_0$, tale che $x_0 notin Z$).
In $x_1$ la funzione deve annullarsi.
In $] x_1 , x_2 [$ la $f$ è strettamente negativa.
In $] x_2 , x_3 [$ la $f$ è strettamente positiva.
Si ragiona in maniera analoga finché, finalmente:
In $] x_7 , 1 [$ la $f$ è strettamente negativa. Ma allora potrei considerare $x_7 < x_8 < 1$ e applicare il teorema degli zeri a $[x_8, 1]$. Ne verrebbe l'esistenza di un ottavo zero di $f$, contro l'ipotesi.
Quindi è falso ciò che avevamo supposto all'inizio per assurdo. (**)
L'idea mi sembra giusta. Una dimostrazione un po' prolissa ma corretta eccettuato il passaggio in spoiler (il più importante, in effetti).
Avendo supposto per assurdo che nessuno zero di $f$ è un punto stazionario ho escluso il fatto che la funzione possa, da valori positivi, annullarsi e mantenersi positiva.
Mi sembrava che usando Lagrange per dimostrare che in ogni intorno sinistro dello zero (della $f$) esiste un punto in cui la derivata è strettamente negativa, avrei potuto concludere che nello zero non può aversi $f' > 0$ (perché altrimenti si avrebbe una situazione tipica da punto di non derivabilità, credo). Mi sono spiegato?
Dimostrare che esiste $bar x in Z$ tale che $f'(bar x ) = 0$.
Idea:
Supponiamo per assurdo che non esista nessun punto di $Z$ in cui la derivata prima si annulli. (**)
$Z = { x_1 , x_2 , ... , x_7 }$
In $[0 , x_1[$ la funzione è strettamente positiva (se per assurdo cambiasse di segno si potrebbe applicare il teorema degli zeri e si troverebbe uno zero di $f$, $x_0$, tale che $x_0 notin Z$).
In $x_1$ la funzione deve annullarsi.
In $] x_1 , x_2 [$ la $f$ è strettamente negativa.
In $] x_2 , x_3 [$ la $f$ è strettamente positiva.
Si ragiona in maniera analoga finché, finalmente:
In $] x_7 , 1 [$ la $f$ è strettamente negativa. Ma allora potrei considerare $x_7 < x_8 < 1$ e applicare il teorema degli zeri a $[x_8, 1]$. Ne verrebbe l'esistenza di un ottavo zero di $f$, contro l'ipotesi.
Quindi è falso ciò che avevamo supposto all'inizio per assurdo. (**)
L'idea mi sembra giusta. Una dimostrazione un po' prolissa ma corretta eccettuato il passaggio in spoiler (il più importante, in effetti).
Avendo supposto per assurdo che nessuno zero di $f$ è un punto stazionario ho escluso il fatto che la funzione possa, da valori positivi, annullarsi e mantenersi positiva.
Mi sembrava che usando Lagrange per dimostrare che in ogni intorno sinistro dello zero (della $f$) esiste un punto in cui la derivata è strettamente negativa, avrei potuto concludere che nello zero non può aversi $f' > 0$ (perché altrimenti si avrebbe una situazione tipica da punto di non derivabilità, credo). Mi sono spiegato?
Risposte
Mi sembra che l'idea sia corretta.
Forse si può procedere un po' più sinteticamente in questo modo.
Se $z\in Z$ e $f'(z)\ne 0$, allora $f$ cambia segno in $z$, vale a dire passa da positiva (in un intorno sinistro) a negativa (in un intorno destro) o viceversa; per dimostrarlo basta la definizione di derivata.
Di conseguenza, se supponiamo per assurdo che $f'(z)\ne 0$ per ogni $z\in Z$, gli zeri di $f$ partizionano l'intervallo $[0,1]$ in $8$ sottointervalli, sui quali il segno di $f$ si alterna. Tale segno, però, deve essere positivo sul primo e sull'ultimo intervallo, e dunque il numero di tali intervalli è dispari, assurdo.
Forse si può procedere un po' più sinteticamente in questo modo.
Se $z\in Z$ e $f'(z)\ne 0$, allora $f$ cambia segno in $z$, vale a dire passa da positiva (in un intorno sinistro) a negativa (in un intorno destro) o viceversa; per dimostrarlo basta la definizione di derivata.
Di conseguenza, se supponiamo per assurdo che $f'(z)\ne 0$ per ogni $z\in Z$, gli zeri di $f$ partizionano l'intervallo $[0,1]$ in $8$ sottointervalli, sui quali il segno di $f$ si alterna. Tale segno, però, deve essere positivo sul primo e sull'ultimo intervallo, e dunque il numero di tali intervalli è dispari, assurdo.
Ah, tu dici quindi che è sufficiente scrivere, per il primo intervallo, il rapporto incrementale:
$R_("["x, x_1"[")^(f) (x) = (f(x_1) - f(x))/(x_1 - x)$ il quale è $< 0$ per $x in [0, x_1[$.
Allora, poiché $f$ è derivabile in $[0, 1]$, passando al limite si avrebbe che:
$lim_(x -> x_1^(-)) R_("["x, x_1"[")^(f) (x) = f'(x_1)$
Ma $f'(x_1)$ non può essere $0$ per ipotesi e se fosse negativo, per la permanenza del segno si dedurrebbe che esiste un intorno sinistro di $x_1$ in cui $R_("["x, x_1"[")^(f) < 0$, ciò che è assurdo. Deve aversi $f'(x_1) > 0$.
Grazie infinite..
$R_("["x, x_1"[")^(f) (x) = (f(x_1) - f(x))/(x_1 - x)$ il quale è $< 0$ per $x in [0, x_1[$.
Allora, poiché $f$ è derivabile in $[0, 1]$, passando al limite si avrebbe che:
$lim_(x -> x_1^(-)) R_("["x, x_1"[")^(f) (x) = f'(x_1)$
Ma $f'(x_1)$ non può essere $0$ per ipotesi e se fosse negativo, per la permanenza del segno si dedurrebbe che esiste un intorno sinistro di $x_1$ in cui $R_("["x, x_1"[")^(f) < 0$, ciò che è assurdo. Deve aversi $f'(x_1) > 0$.
Grazie infinite..
No, non intendevo questo.
L'osservazione è che, se $z\in Z$ e $f'(z)\ne 0$, allora $f$ cambia segno in $z$.
Più precisamente, se supponi ad esempio $f'(z)>0$, allora sai per definizione di derivata che esiste $r>0$ t.c.
$\frac{f{x}}{x-z} > 0$ per ogni $x\in B_r(z)$.
Di conseguenza $f(x) < 0$ per ogni $x\in (z-r, z)$, mentre $f(x) > 0$ per ogni $x\in (z, z+r)$.
Poi, è chiaro che $f$, essendo continua, ha segno costante fra due zeri consecutivi e, a questo punto, concludi come detto nel post precedente.
L'osservazione è che, se $z\in Z$ e $f'(z)\ne 0$, allora $f$ cambia segno in $z$.
Più precisamente, se supponi ad esempio $f'(z)>0$, allora sai per definizione di derivata che esiste $r>0$ t.c.
$\frac{f{x}}{x-z} > 0$ per ogni $x\in B_r(z)$.
Di conseguenza $f(x) < 0$ per ogni $x\in (z-r, z)$, mentre $f(x) > 0$ per ogni $x\in (z, z+r)$.
Poi, è chiaro che $f$, essendo continua, ha segno costante fra due zeri consecutivi e, a questo punto, concludi come detto nel post precedente.
Perfetto, questo mi è chiaro. Ma non è sbagliato quello che ho scritto io, giusto?
No, è corretto.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo