Esercizio teorico - f. continua
Esercizio: Sia $f : ] 0 , + oo [$ continua.
Se $lim_( x -> 0^+ ) f(x) = 0$ e $lim_(x -> +oo ) f(x) = +oo$, provare che $f$ è inferiormente illimitata.
Idea:
Se $f$ è continua, in ogni punto del dominio vale il teorema di limitatezza locale, cioè $AA x_0 in ] 0 , +oo [$ esiste un intorno $U_(x_0)$ in cui $f$ è limitata.
Ma allora le uniche possibilità che ha la funzione di scappare a $-oo$ sono:
1) In un intorno di $0$: ma per ipotesi è $lim_( x -> 0^+ ) f(x) = 0$ e cioè $AA epsilon > 0$ esiste un intorno destro dello $0$ per ogni $x$ del quale $f(x) in ] - epsilon , epsilon [$ .
2) In un intorno di $+oo$: ma per ipotesi è $lim_(x -> +oo ) f(x) = +oo$, e per la permanenza del segno questo significa che da un certo $x_0$ in poi la funzione è sempre positiva.
Quindi è inferiormente limitata.
Anziché tirare fuori il teo. di limitatezza locale, forse potrei usare il teo. di Weierstrass per le funzioni continue in un generico intervallo chiuso e limitato $[ x_1 , x_2 ] subset ] 0 , +oo [$. L'esistenza di minimo in $[ x_1 , x_2 ]$ porterebbe alla casistica di prima ((1), (2)).
Cosa ne pensate? E' giusto il ragionamento?
Se $lim_( x -> 0^+ ) f(x) = 0$ e $lim_(x -> +oo ) f(x) = +oo$, provare che $f$ è inferiormente illimitata.
Idea:
Se $f$ è continua, in ogni punto del dominio vale il teorema di limitatezza locale, cioè $AA x_0 in ] 0 , +oo [$ esiste un intorno $U_(x_0)$ in cui $f$ è limitata.
Ma allora le uniche possibilità che ha la funzione di scappare a $-oo$ sono:
1) In un intorno di $0$: ma per ipotesi è $lim_( x -> 0^+ ) f(x) = 0$ e cioè $AA epsilon > 0$ esiste un intorno destro dello $0$ per ogni $x$ del quale $f(x) in ] - epsilon , epsilon [$ .
2) In un intorno di $+oo$: ma per ipotesi è $lim_(x -> +oo ) f(x) = +oo$, e per la permanenza del segno questo significa che da un certo $x_0$ in poi la funzione è sempre positiva.
Quindi è inferiormente limitata.
Anziché tirare fuori il teo. di limitatezza locale, forse potrei usare il teo. di Weierstrass per le funzioni continue in un generico intervallo chiuso e limitato $[ x_1 , x_2 ] subset ] 0 , +oo [$. L'esistenza di minimo in $[ x_1 , x_2 ]$ porterebbe alla casistica di prima ((1), (2)).
Cosa ne pensate? E' giusto il ragionamento?
Risposte
Anche io passerei per il teor. di Weierstrass.
Il modo forse più semplice è considerare l'estensione continua $g$ di $f$ su $[0,+\infty)$, ottenuta ponendo $g=f$ su $(0,+\infty)$ e $g(0) = 0$.
A questo punto, per definizione di limite (a $+\infty$) esiste $x_0 > 0$ t.c. $g(x) > 1$ (o di qualsiasi altro numero positivo) per ogni $x\ge x_0$.
Ora applichi il Teorema di Weierstrass su $[0, x_0]$, ottenendo un punto di minimo $x_1$ che, per quanto appena detto, sarà minimo globale di $g$.
In modo equivalente, puoi anche considerare una successione minimizzante $(x_n)$, che necessariamente sarà definitivamente contenuta nel sottolivello limitato $\{x>0: f(x) \le 1\}\subseteq [0, x_0]$.
Per compattezza, da tale successione puoi estrarre una sottosuccessione convergente a un punto $x_1\in [0,x_0]$, e distinguere i casi $x_1 = 0$ (nel qual caso usi l'ipotesi $\lim_{x\to 0^+} f(x) = 0$) oppure $x_1 \in (0, x_0]$ (nel qual caso usi la continuità di $f$).
Il modo forse più semplice è considerare l'estensione continua $g$ di $f$ su $[0,+\infty)$, ottenuta ponendo $g=f$ su $(0,+\infty)$ e $g(0) = 0$.
A questo punto, per definizione di limite (a $+\infty$) esiste $x_0 > 0$ t.c. $g(x) > 1$ (o di qualsiasi altro numero positivo) per ogni $x\ge x_0$.
Ora applichi il Teorema di Weierstrass su $[0, x_0]$, ottenendo un punto di minimo $x_1$ che, per quanto appena detto, sarà minimo globale di $g$.
In modo equivalente, puoi anche considerare una successione minimizzante $(x_n)$, che necessariamente sarà definitivamente contenuta nel sottolivello limitato $\{x>0: f(x) \le 1\}\subseteq [0, x_0]$.
Per compattezza, da tale successione puoi estrarre una sottosuccessione convergente a un punto $x_1\in [0,x_0]$, e distinguere i casi $x_1 = 0$ (nel qual caso usi l'ipotesi $\lim_{x\to 0^+} f(x) = 0$) oppure $x_1 \in (0, x_0]$ (nel qual caso usi la continuità di $f$).
"Rigel":
Anche io passerei per il teor. di Weierstrass.
Il modo forse più semplice è considerare l'estensione continua $g$ di $f$ su $[0,+\infty)$, ottenuta ponendo $g=f$ su $(0,+\infty)$ e $g(0) = 0$.
A questo punto, per definizione di limite (a $+\infty$) esiste $x_0 > 0$ t.c. $g(x) > 1$ (o di qualsiasi altro numero positivo) per ogni $x\ge x_0$.
Ora applichi il Teorema di Weierstrass su $[0, x_0]$, ottenendo un punto di minimo $x_1$ che, per quanto appena detto, sarà minimo globale di $g$.
Qui sei chiarissimo.
"Rigel":
In modo equivalente, puoi anche considerare una successione minimizzante $(x_n)$, che necessariamente sarà definitivamente contenuta nel sottolivello limitato $\{x>0: f(x) \le 1\}\subseteq [0, x_0]$.
Minimizzante? Sottolivello? Non ti seguo.
Tieni presente che ho solo qualche minuscola nozione di successioni in topologia.
Comunque pensi che il mio ragionamento sia impreciso o proprio sbagliato?
Il tuo ragionamento è corretto, ma va formalizzato.
Quella che ti ho proposto è, appunto, una possibile formalizzazione.
La seconda proposta, invece, è basata sul fatto che le ipotesi sui limiti implicano che l'insieme $A = \{x\in (0, +\infty): f(x) \le 1\}$ è limitato; usando le notazioni già introdotte, diciamo $A\subset (0, x_0]$.
Di conseguenza, se $(x_n)_n$ è una successione minimizzante per $f$, cioè una successione tale che $\lim_n f(x_n) = "inf" f$, allora essa è contenuta definitivamente in $A$. Per il teorema di Bolzano-Weierstrass, possiamo estrarre una sottosuccessione convergente. Il resto procede come già detto.
Quella che ti ho proposto è, appunto, una possibile formalizzazione.
La seconda proposta, invece, è basata sul fatto che le ipotesi sui limiti implicano che l'insieme $A = \{x\in (0, +\infty): f(x) \le 1\}$ è limitato; usando le notazioni già introdotte, diciamo $A\subset (0, x_0]$.
Di conseguenza, se $(x_n)_n$ è una successione minimizzante per $f$, cioè una successione tale che $\lim_n f(x_n) = "inf" f$, allora essa è contenuta definitivamente in $A$. Per il teorema di Bolzano-Weierstrass, possiamo estrarre una sottosuccessione convergente. Il resto procede come già detto.
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