Esercizio teorico esistenza limiti
Buonanotte, in attesa del nuovo anno accademico, ho cercato qualche esercizio di analisi per tenermi in allenamento.
Dal Bramanti-Pagani-Salsa:
i) Dimostrare in base alla definizione successionale di limite che non esiste
$ lim_(x ->+infty)tg(x) $
ii) Più in generale, dimostrare che non esiste
$ lim_(x ->+infty)f(x) $
se $f:RR rightarrow RR$ è una funzione periodica non costante.
SOL.:
In base alla definizione successionale di limite, affiché $ lim_(x -> +infty) tg(x) $ non esista, deve esistere due successioni ${x_n}$ e ${y_n}$ divergenti a $+infty$ e tali che $tg(x_n)$ e $tg(y_n)$ tendano a limiti diversi.
Pensavo di mostrare che non esistendo sia il limite a $+infty $ per il $sen(x)$ che per il $cos(x)$ allora il limite di partenza non esiste.
i)
Per il seno posso prendere le successioni divergenti a più infinito $x_n=npi$ e $y_n=pi/2 + 2npi$.
Si ha che $sen(x_n)=0$ mentre $sen(y_n)=1$, pertanto la def. di limite non è soddisfatta e quindi il limite non esiste.
Prendendo le stesse successioni anche il limite del coseno non esiste.
Pertanto, dato che il limite del rapporto è dato dal rapporto dei limiti, $ lim_(x -> +infty) tg(x) $ non esiste.
ii)
se $f: RR rightarrowRR$ è periodica e non costante, di periodo $tau$, allora si ha necessariamente che $f(x)=f(x+ntau)$ con $n in ZZ$ e che esistono $x_1,x_2$ tali che $f(x_1)!=f(x_2)$.
considero le successioni ${x_n}| x_n=x_1 + ntau$ e ${y_n}|y_n=x_2+ntau$.
Per la periodicità si ha $f(x_n)=x_1 $ e $f(y_n)=x_2$.
Quindi ho trovato due successioni divergenti tali per cui i limiti sono diversi tendono a valori diversi.
Il limite allora non esiste.
Dal Bramanti-Pagani-Salsa:
i) Dimostrare in base alla definizione successionale di limite che non esiste
$ lim_(x ->+infty)tg(x) $
ii) Più in generale, dimostrare che non esiste
$ lim_(x ->+infty)f(x) $
se $f:RR rightarrow RR$ è una funzione periodica non costante.
SOL.:
In base alla definizione successionale di limite, affiché $ lim_(x -> +infty) tg(x) $ non esista, deve esistere due successioni ${x_n}$ e ${y_n}$ divergenti a $+infty$ e tali che $tg(x_n)$ e $tg(y_n)$ tendano a limiti diversi.
Pensavo di mostrare che non esistendo sia il limite a $+infty $ per il $sen(x)$ che per il $cos(x)$ allora il limite di partenza non esiste.
i)
Per il seno posso prendere le successioni divergenti a più infinito $x_n=npi$ e $y_n=pi/2 + 2npi$.
Si ha che $sen(x_n)=0$ mentre $sen(y_n)=1$, pertanto la def. di limite non è soddisfatta e quindi il limite non esiste.
Prendendo le stesse successioni anche il limite del coseno non esiste.
Pertanto, dato che il limite del rapporto è dato dal rapporto dei limiti, $ lim_(x -> +infty) tg(x) $ non esiste.
ii)
se $f: RR rightarrowRR$ è periodica e non costante, di periodo $tau$, allora si ha necessariamente che $f(x)=f(x+ntau)$ con $n in ZZ$ e che esistono $x_1,x_2$ tali che $f(x_1)!=f(x_2)$.
considero le successioni ${x_n}| x_n=x_1 + ntau$ e ${y_n}|y_n=x_2+ntau$.
Per la periodicità si ha $f(x_n)=x_1 $ e $f(y_n)=x_2$.
Quindi ho trovato due successioni divergenti tali per cui i limiti sono diversi tendono a valori diversi.
Il limite allora non esiste.
Risposte
"feddy":
Pertanto, dato che il limite del rapporto è dato dal rapporto dei limiti...
Considera, per esempio, le seguenti due successioni:
$[a_n=(-1)^n] rarr [not EE lim_(n->+oo)a_n]$
$[b_n=(-2)^n] rarr [not EE lim_(n->+oo)b_n]$
Tuttavia:
$[c_n=a_n/b_n=(1/2)^n] rarr [EE lim_(n->+oo)c_n=0]$
Insomma, dimostrare che non esistono i limiti del numeratore e del denominatore non è sufficiente per concludere che non esiste il limite del loro rapporto.
P.S.
La seconda è corretta, a patto che $[n in NN]$, visto che $[x->+oo]$.
Come dice Elias, puoi cambiare limite e rapporto solo se i limiti esistono finiti.
In ogni caso non mi sembra necessario fare tutto questo giro: così come puoi trovare due successioni tali che [...] per il seno ed il coseno, sicuramente puoi trovarle per la tangente.
In ogni caso non mi sembra necessario fare tutto questo giro: così come puoi trovare due successioni tali che [...] per il seno ed il coseno, sicuramente puoi trovarle per la tangente.
"Raptorista":
In ogni caso non mi sembra necessario fare tutto questo giro...
Condivido pienamente.
grazie a entrambi ! 
Due possibili successioni per la tangente potrebbero essere $x_n=npi$ e $y_n=npi + pi/2$ ?, con $n in NN$
Due possibili successioni per la tangente potrebbero essere $x_n=npi$ e $y_n=npi + pi/2$ ?, con $n in NN$
Non proprio. Quando $[y_n=\pi/2+n\pi]$ la tangente non è definita. Basta prendere, a patto che sia $[\alpha_1ne\alpha_2]$:
$[x_n=\alpha_1+n\pi] ^^ [-\pi/2<\alpha_1<\pi/2]$
$[y_n=\alpha_2+n\pi] ^^ [-\pi/2<\alpha_2<\pi/2]$
$[x_n=\alpha_1+n\pi] ^^ [-\pi/2<\alpha_1<\pi/2]$
$[y_n=\alpha_2+n\pi] ^^ [-\pi/2<\alpha_2<\pi/2]$
Chiarissimo, grazie mille ! 
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