Esercizio Teorico Analisi I
Ciao ragazzi, ho dei problemi nella risoluzione di questo esercizio e spero che qualcuno possa aiutarmi:
$ x^2014+x^2/2=cosx+xsinx $
Dimostrare che l'equazione ha esattamente due radici reali e dimostrare almeno uno dei teoremi utilizzati.
Ho capito che l'esercizio necessita dell'utilizzo del teorema degli zeri, ma non so come verificare matematicamente le ipotesi che lo sostengono e non so nemmeno quali potrebbero essere gli altri teoremi da sfruttare :/
Grazie a tutti in anticipo!
$ x^2014+x^2/2=cosx+xsinx $
Dimostrare che l'equazione ha esattamente due radici reali e dimostrare almeno uno dei teoremi utilizzati.
Ho capito che l'esercizio necessita dell'utilizzo del teorema degli zeri, ma non so come verificare matematicamente le ipotesi che lo sostengono e non so nemmeno quali potrebbero essere gli altri teoremi da sfruttare :/
Grazie a tutti in anticipo!
Risposte
Fai uno studio della funzione:
- limiti a $+oo, -oo$
- valore nello zero
- funzione pari, dispari
- presenza di massimi, minimi
E' quello che ti serve.
- limiti a $+oo, -oo$
- valore nello zero
- funzione pari, dispari
- presenza di massimi, minimi
E' quello che ti serve.
Questa però non è una classica funzione come quelle che si fanno in analisi I.
E' multivoca:
Forse l'esercizio vuole che si dimostri in altro modo
E' multivoca:
Forse l'esercizio vuole che si dimostri in altro modo
Io ho provato nel seguente modo, non so se sia corretto pero':
La funzione è continua, quindi potrebbe essere derivabile. Lo verifico derivando:
$ f'(x)= 2014x^2013+x-xcosx $
Dalla derivata posso vedere il segno della funzione, e mi viene:
$ f'(x)<0 $ per $ x<0 $
$ f'(x)>0 $ per $ x>0 $
Dunque f(x) è strettamente decrescente in $ ]-oo, 0] $
Strettamente crescente in $ [0,+oo[ $
Ok, f(x) è continua e so il segno della funzione, l'altra ipotesi del teorema degli zeri è che $ f(a)f(b)<0 $
Considero l'intervallo $ ]-oo, 0] $ con $ a=0 b=-2pi $, ottengo che la seconda ipotesi del teorema degli zeri è verificata, quindi esiste almeno una radice nell'intervallo citato sopra.
Facendo la stessa cosa con l'intervallo $ [0,+oo[ $ ricavo le stesse conclusioni.
Ora, nell'intervallo $ ]-oo,+oo[ /0 $ so che esistono ALMENO due radici.
Pur supponendo che il procedimento sia giusto, come dimostro che ci sono esattamente due radici? Quali potrebbero essere gli altri teoremi legati a questo esercizio?
@ Ianero: l' esercizio è di analisi I al 100%
@ Quinzio: ho pensato anche io a questa soluzione, l'esercizio vuole essere risolto con teoremi però :/
La funzione è continua, quindi potrebbe essere derivabile. Lo verifico derivando:
$ f'(x)= 2014x^2013+x-xcosx $
Dalla derivata posso vedere il segno della funzione, e mi viene:
$ f'(x)<0 $ per $ x<0 $
$ f'(x)>0 $ per $ x>0 $
Dunque f(x) è strettamente decrescente in $ ]-oo, 0] $
Strettamente crescente in $ [0,+oo[ $
Ok, f(x) è continua e so il segno della funzione, l'altra ipotesi del teorema degli zeri è che $ f(a)f(b)<0 $
Considero l'intervallo $ ]-oo, 0] $ con $ a=0 b=-2pi $, ottengo che la seconda ipotesi del teorema degli zeri è verificata, quindi esiste almeno una radice nell'intervallo citato sopra.
Facendo la stessa cosa con l'intervallo $ [0,+oo[ $ ricavo le stesse conclusioni.
Ora, nell'intervallo $ ]-oo,+oo[ /0 $ so che esistono ALMENO due radici.
Pur supponendo che il procedimento sia giusto, come dimostro che ci sono esattamente due radici? Quali potrebbero essere gli altri teoremi legati a questo esercizio?
@ Ianero: l' esercizio è di analisi I al 100%
@ Quinzio: ho pensato anche io a questa soluzione, l'esercizio vuole essere risolto con teoremi però :/
Facendo secondo questa strada puoi notare che la funzione \(\displaystyle y=x^{2014}+\frac{x^{2}}{2}-\cos x-x\sin x \) è pari, in più strettamente crescente nel semiasse positivo delle ascisse.
In 0 vale -1, in 1 è maggiore di zero, quindi dalla monotonia deduci che in questa zona ha una sola radice, siccome è pari, avrà una radice simmetrica anche nell'altro semiasse negativo.
In 0 vale -1, in 1 è maggiore di zero, quindi dalla monotonia deduci che in questa zona ha una sola radice, siccome è pari, avrà una radice simmetrica anche nell'altro semiasse negativo.
Giusto! Ma..."Dimostrare almeno uno dei teoremi utilizzati". Ianero che teoremi hai utilizzato? 
Teorema degli zeri con rispettivo corollario per funzioni monotone.
Perfetto ho risolto! Grazie per l'aiuto!
"Ianero":
Questa però non è una classica funzione come quelle che si fanno in analisi I.
E' multivoca:
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