Esercizio teorico
Sia \(\displaystyle \phi \in C^1[0,1] \)tale che \(\displaystyle \phi(0)=0 \), \(\displaystyle \phi(1)=1 \), \(\displaystyle \, \phi'(0)=0=\phi'(1) \) e sia \(\displaystyle h \) una funzione integrabile su \(\displaystyle (a,b) \) e continua in \(\displaystyle x_0 \), dove \(\displaystyle x_0 \in (a,b) \).
Definisco: \(\displaystyle \phi_n(x) = \
\begin{cases}
\phi(n(x-x_0)+1) & \text{se } x_0 - \frac{1}{n} < x < x_0 \\
1 & \text{se } x \geq x_0 \\
0 & \text{altrove}
\end{cases}
\)
Dimostrare che \(\displaystyle \int_a ^b h(x)\phi'_n(x)\, dx \, \xrightarrow{n \to +\infty} h(x_0) \).
Ho dimostrato che le funzioni \(\displaystyle \phi_n \) sono \(\displaystyle C^1 \) e si ha \(\displaystyle \phi'_n(x)=\begin{cases}
n\phi'(n(x-x_0)+1) & \text{se } x_0 - \frac{1}{n} < x < x_0 \\
0 & \text{altrove}
\end{cases} \).
Perciò,\(\displaystyle \int _a ^b h \phi'_n = \int _{x_0 -\frac{1}{n}} ^{x_0} h \phi'_n \)
Per il teorema della media ho che \(\displaystyle h(y_n)\phi'(n(y_n-x_o)+1) \leq \int _{x_0 -\frac{1}{n}} ^{x_0} h(x) \phi'_n(x) \, dx \leq h(x_n)\phi'(n(x_n-x_0)+1) \), ove \(\displaystyle x_n \to x_0 \) e \(\displaystyle y_n \to x_0 \).
Per la continuità di \(\displaystyle h \), so che \(\displaystyle h(x_n) \to h(x_0) \) e \(\displaystyle h(y_n) \to h(x_0) \), ma non riesco a capire come trattare la \(\displaystyle \phi'\).
(scusate ma non sono riuscito a trovare un titolo più adatto
)
Definisco: \(\displaystyle \phi_n(x) = \
\begin{cases}
\phi(n(x-x_0)+1) & \text{se } x_0 - \frac{1}{n} < x < x_0 \\
1 & \text{se } x \geq x_0 \\
0 & \text{altrove}
\end{cases}
\)
Dimostrare che \(\displaystyle \int_a ^b h(x)\phi'_n(x)\, dx \, \xrightarrow{n \to +\infty} h(x_0) \).
Ho dimostrato che le funzioni \(\displaystyle \phi_n \) sono \(\displaystyle C^1 \) e si ha \(\displaystyle \phi'_n(x)=\begin{cases}
n\phi'(n(x-x_0)+1) & \text{se } x_0 - \frac{1}{n} < x < x_0 \\
0 & \text{altrove}
\end{cases} \).
Perciò,\(\displaystyle \int _a ^b h \phi'_n = \int _{x_0 -\frac{1}{n}} ^{x_0} h \phi'_n \)
Per il teorema della media ho che \(\displaystyle h(y_n)\phi'(n(y_n-x_o)+1) \leq \int _{x_0 -\frac{1}{n}} ^{x_0} h(x) \phi'_n(x) \, dx \leq h(x_n)\phi'(n(x_n-x_0)+1) \), ove \(\displaystyle x_n \to x_0 \) e \(\displaystyle y_n \to x_0 \).
Per la continuità di \(\displaystyle h \), so che \(\displaystyle h(x_n) \to h(x_0) \) e \(\displaystyle h(y_n) \to h(x_0) \), ma non riesco a capire come trattare la \(\displaystyle \phi'\).
(scusate ma non sono riuscito a trovare un titolo più adatto
)
Risposte
Una possibilità consiste nel considerare inizialmente il caso \(h\in C^1\) e valutare l'integrale attraverso una integrazione per parti.
Il caso generale si può ottenere considerando le mollificazioni \(h_{\epsilon} := h\ast \varphi_{\epsilon}\) e ricordando che \(h_{\epsilon}(x) \to h(x)\) in ogni punto di Lebesgue di \(h\) (dunque, in particolare, in ogni punto di continuità).
Il caso generale si può ottenere considerando le mollificazioni \(h_{\epsilon} := h\ast \varphi_{\epsilon}\) e ricordando che \(h_{\epsilon}(x) \to h(x)\) in ogni punto di Lebesgue di \(h\) (dunque, in particolare, in ogni punto di continuità).
Il caso \(\displaystyle C^1 \) l'avevo trattato separatamente ma poi ci avevo rinunciato perché non sapevo come generalizzare, perciò ti ringrazio molto per la risposta.
Ma non ho capito cosa sono le "mollificazioni" di cui parli.
Ma non ho capito cosa sono le "mollificazioni" di cui parli.
Per i mollificatori puoi guardare qui:
http://en.wikipedia.org/wiki/Mollifier
Comunque, se non ne hai mai sentito parlare, direi che non era questa la soluzione pensata per l'esercizio.
Conviene procedere in maniera diretta: osservando che \(\int_a^b \phi_n' = 1\) si ha che
\[
\left|\int_a^b h \phi_n' dx - h(x_0) \right| = \left|\int_{x_0-1/n}^{x_0} [h(x) - h(x_0)] \phi_n'(x) dx \right|
=\left| \int_0^1 [h(x_0+(y-1)/n) - h(x_0)] \phi'(y) dy \right|\]
\[ \leq
C \int_0^1 |h(x_0+(y-1)/n) - h(x_0)| dy,
\]
dove \(C:= \max |\phi'|\).
A questo punto puoi concludere usando la continuità di \(h\) in \(x_0\).
http://en.wikipedia.org/wiki/Mollifier
Comunque, se non ne hai mai sentito parlare, direi che non era questa la soluzione pensata per l'esercizio.
Conviene procedere in maniera diretta: osservando che \(\int_a^b \phi_n' = 1\) si ha che
\[
\left|\int_a^b h \phi_n' dx - h(x_0) \right| = \left|\int_{x_0-1/n}^{x_0} [h(x) - h(x_0)] \phi_n'(x) dx \right|
=\left| \int_0^1 [h(x_0+(y-1)/n) - h(x_0)] \phi'(y) dy \right|\]
\[ \leq
C \int_0^1 |h(x_0+(y-1)/n) - h(x_0)| dy,
\]
dove \(C:= \max |\phi'|\).
A questo punto puoi concludere usando la continuità di \(h\) in \(x_0\).
"Antimius":
Per il teorema della media ho che \(\displaystyle h(y_n)\phi'_n(n(y_n-x_o)+1) \leq \int _{x_0 -\frac{1}{n}} ^{x_0} h(x) \phi'_n(x) \, dx \leq h(x_n)\phi'_n(n(x_n-x_0)+1)\)
Quale teorema della media hai applicato ?
Grazie mille!
@commodore64: quello per funzioni non necessariamente continue (da cui discende quello noto nel caso continuo). Il Marcellini-Sbordone lo chiama sempre teorema della media, in realtà è una semplice conseguenza della monotonia dell'integrale, ottenuta limitando la funzione tra il suo massimo e minimo (in questo caso i punti di minimo e di massimo dipendono dall'indice n, per questo li ho evidenziati come successioni)
(Ho modificato su, avevo messo degli indici di troppo)
@commodore64: quello per funzioni non necessariamente continue (da cui discende quello noto nel caso continuo). Il Marcellini-Sbordone lo chiama sempre teorema della media, in realtà è una semplice conseguenza della monotonia dell'integrale, ottenuta limitando la funzione tra il suo massimo e minimo (in questo caso i punti di minimo e di massimo dipendono dall'indice n, per questo li ho evidenziati come successioni)
(Ho modificato su, avevo messo degli indici di troppo)
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