[Esercizio] Teoria del campo gravitazionale
Sia dato il campo di forza centrale:
$ vec F = A /(r)^(2) (1+r / R) e^{-r / R } $
dove A ed R sono costanti non nulle.
Si chiede di:
1) determinare il potenziale $ U(r) $ corrispondente alla forza;
2) calcolare la velocità di fuga dalla sfera di raggio $ r=2 $ (avendo assunto $ A=-1, R=1 $ )
3) sempre assumendo $ A=-1, R>1 $, qual'è l'energia massima (per unità di massa) delle particelle in orbite legate?
4) con i suddetti valori di A ed R, che forma hanno le orbite di energia abbastanza elevata tale che $ r> >R $ ?
Dunque, per il punto (1) basta fare l'integrale del campo (visto che $ vec F = nabla U(r) $), ma il risultato che ottengo è un pò inverosimile...
Il procedimento che utilizzo è quello di passare in coordinate polari (visto il campo centrale) e poi fare una sostituzione del tipo: $ r / R = x $ , ma vorrei un aiuto per conferma...
Grazie!
$ vec F = A /(r)^(2) (1+r / R) e^{-r / R } $
dove A ed R sono costanti non nulle.
Si chiede di:
1) determinare il potenziale $ U(r) $ corrispondente alla forza;
2) calcolare la velocità di fuga dalla sfera di raggio $ r=2 $ (avendo assunto $ A=-1, R=1 $ )
3) sempre assumendo $ A=-1, R>1 $, qual'è l'energia massima (per unità di massa) delle particelle in orbite legate?
4) con i suddetti valori di A ed R, che forma hanno le orbite di energia abbastanza elevata tale che $ r> >R $ ?
Dunque, per il punto (1) basta fare l'integrale del campo (visto che $ vec F = nabla U(r) $), ma il risultato che ottengo è un pò inverosimile...
Il procedimento che utilizzo è quello di passare in coordinate polari (visto il campo centrale) e poi fare una sostituzione del tipo: $ r / R = x $ , ma vorrei un aiuto per conferma...
Grazie!
Risposte
[mod="dissonance"]Bisogna chiudere il messaggio duplicato però. La prossima volta, chiedi ad un moderatore di Fisica di spostare il messaggio, per favore, sennò si crea confusione. Grazie.[/mod]
Scusa la mia ignoranza la forza come la devo indendere in questo modo:
$\vec{F}=\frac{A}{r^2}(1+\frac{\vec{r}}{R})\exp^{-\frac{r}{R}}$ dove r=$|\vec{r}|$?
Annche se in questa scrittura nn è giusta perchè sommo un vettore con uno scalare.
Forse la intendevi scrivere per coordinate nel seguente modo:
$F_i=\frac{A}{r^2} (1+\frac{x_i}{R})\exp^{-\frac{r}{R}}$
$\vec{F}=\frac{A}{r^2}(1+\frac{\vec{r}}{R})\exp^{-\frac{r}{R}}$ dove r=$|\vec{r}|$?
Annche se in questa scrittura nn è giusta perchè sommo un vettore con uno scalare.
Forse la intendevi scrivere per coordinate nel seguente modo:
$F_i=\frac{A}{r^2} (1+\frac{x_i}{R})\exp^{-\frac{r}{R}}$
Ho sbadatamente tralasciato il versore $ vec e = vec r / r $ :
$ vec F = A /(r)^(2) (1+r / R) e^{-r / R } vec e$
$ vec F = A /(r)^(2) (1+r / R) e^{-r / R } vec e$
Per il punto 1), spero tu abbia usato l'espressione del gradiente in coordinate sferiche:
[tex]$\nabla U(r,\theta,\phi)=\frac{\partial U}{\partial r}\vec{r}+\frac{1}{r}\cdot\frac{\partial U}{\partial\theta}\vec{e}_\theta+\frac{1}{r\sin\theta}\cdot\frac{\partial U}{\partial\phi}\vec{e}_\phi$[/tex]
che nel tuo caso, essendo tutto radiale, si riduce al solo primo addendo. In questo modo hai che
[tex]$\frac{1}{r^2}\left(1+\frac{r}{R}\right) e^{-r/R}=\frac{\partial U}{\partial r}$[/tex]
per cui basta integrare rispetto ad [tex]$r$[/tex] ottenendo
[tex]$U(r)=\int \frac{1}{r^2}\left(1+\frac{r}{R}\right) e^{-r/R}\ dr=$[/tex]
(posto per comodità [tex]$-r/R=t,\ dr=-R\ dt$[/tex])
[tex]$=\int\frac{1}{R^2 t^2}\left(t-1\right) e^t\ R\ dt=\frac{1}{R}\int\left[\frac{e^t}{t}-\frac{e^t}{t^2}\right]\ dt=$[/tex]
(integrando il primo integrale per parti)
[tex]$=\frac{1}{R}\left[\frac{e^t}{t}+\int\frac{e^t}{t^2}\ dt-\int\frac{e^t}{t^2}\dt\right]=\frac{e^t}{Rt}+c=-\frac{e^{-r/R}}{r}+c$[/tex]
[tex]$\nabla U(r,\theta,\phi)=\frac{\partial U}{\partial r}\vec{r}+\frac{1}{r}\cdot\frac{\partial U}{\partial\theta}\vec{e}_\theta+\frac{1}{r\sin\theta}\cdot\frac{\partial U}{\partial\phi}\vec{e}_\phi$[/tex]
che nel tuo caso, essendo tutto radiale, si riduce al solo primo addendo. In questo modo hai che
[tex]$\frac{1}{r^2}\left(1+\frac{r}{R}\right) e^{-r/R}=\frac{\partial U}{\partial r}$[/tex]
per cui basta integrare rispetto ad [tex]$r$[/tex] ottenendo
[tex]$U(r)=\int \frac{1}{r^2}\left(1+\frac{r}{R}\right) e^{-r/R}\ dr=$[/tex]
(posto per comodità [tex]$-r/R=t,\ dr=-R\ dt$[/tex])
[tex]$=\int\frac{1}{R^2 t^2}\left(t-1\right) e^t\ R\ dt=\frac{1}{R}\int\left[\frac{e^t}{t}-\frac{e^t}{t^2}\right]\ dt=$[/tex]
(integrando il primo integrale per parti)
[tex]$=\frac{1}{R}\left[\frac{e^t}{t}+\int\frac{e^t}{t^2}\ dt-\int\frac{e^t}{t^2}\dt\right]=\frac{e^t}{Rt}+c=-\frac{e^{-r/R}}{r}+c$[/tex]
Io pensavo che nell'integrale del potenziale andasse anche l'intero elemento di volume, ottenendo dunque:
$ U(r)= int_(0)^(R)int_(0)^(2pi)int_(0)^(pi)frac{A}{r^2}(1+\frac{r}{R}) e^{-r/R}r^2 sin(phi) dphi dTheta dr = 4piA int_(0)^(R) (1+\frac{r}{R}) e^{-r/R} dr $
invece a quanto pare non va fatto, ma perchè?
$ U(r)= int_(0)^(R)int_(0)^(2pi)int_(0)^(pi)frac{A}{r^2}(1+\frac{r}{R}) e^{-r/R}r^2 sin(phi) dphi dTheta dr = 4piA int_(0)^(R) (1+\frac{r}{R}) e^{-r/R} dr $
invece a quanto pare non va fatto, ma perchè?
E perché? Vedi che passando a coordinate sferiche, è come se tu "trasformassi" tutto in 1 variabile (solo la $r$. Per cui devi risolvere una equazione differenziale ordinaria rispetto ad $r$.
Dunque quand'è che va inserito anche l'elemento di volume?
Per il punto (2) la velocità di fuga è calcolabile come $ v = sqrt(2U(r)) $ dove però $ U(r) $ è il potenziale della sfera pari a $ GM / r $
La massa la calcolo con l'integrale: $ M(r=2)= 4pi int_(0)^(2) rho(r)(r)^(2) dr $
$ rho(r) $ la ottengo dall'equazione di Poisson in coordinate sferiche: $ rho(r) = -1 / (4piG) 1 / r^(2) d / (dr) (r^(2) (dU) / (dr) ) $
E' corretto?
La massa la calcolo con l'integrale: $ M(r=2)= 4pi int_(0)^(2) rho(r)(r)^(2) dr $
$ rho(r) $ la ottengo dall'equazione di Poisson in coordinate sferiche: $ rho(r) = -1 / (4piG) 1 / r^(2) d / (dr) (r^(2) (dU) / (dr) ) $
E' corretto?
Ho studiato un po meglio per il calcolo della velocità di fuga e risulta che il potenziale che entra nella formula non è affatto quello della sfera, ma quello ricavato nel punto (1) sostituendo gli opportuni parametri. Quindi la velocità di fuga risulta essere: $ 1 / sqrt(e) [m / sec] $
Per il punto (3) c'è da studiare il potenziale efficace:
$ V^(eff) = 1 / 2 L^(2) / r^(2) - U(r) $
dove $ U(r) $ è il potenziale precedentemente ricavato in cui si sono sostituiti i valori di $ A $ ed $ R $ , come da testo; $ L $ è il momento angolare della particella (per unità di massa).
Per ricavare l'energia massima richiesta dovrei effettuare lo studio del potenziale:
$ lim_(r -> +oo ) V^(eff) = 0^(-) $
$ lim_(r -> 0 ) V^(eff) = +oo $
La derivata del potenziale efficace risulta: $ d / (dr) V^(eff) = -L^(2) / r^(3) +1 / r^(2) e^{-r / R } (1+r/R) $
Dopodichè mi vengono risultati un po confusi... qualche suggerimento?
Per il punto (3) c'è da studiare il potenziale efficace:
$ V^(eff) = 1 / 2 L^(2) / r^(2) - U(r) $
dove $ U(r) $ è il potenziale precedentemente ricavato in cui si sono sostituiti i valori di $ A $ ed $ R $ , come da testo; $ L $ è il momento angolare della particella (per unità di massa).
Per ricavare l'energia massima richiesta dovrei effettuare lo studio del potenziale:
$ lim_(r -> +oo ) V^(eff) = 0^(-) $
$ lim_(r -> 0 ) V^(eff) = +oo $
La derivata del potenziale efficace risulta: $ d / (dr) V^(eff) = -L^(2) / r^(3) +1 / r^(2) e^{-r / R } (1+r/R) $
Dopodichè mi vengono risultati un po confusi... qualche suggerimento?
Hai detto: "Io pensavo che nell'integrale del potenziale andasse anche l'intero elemento di volume..."
Quando si dice che l'energia potenziale è l'integrale della forza, non si intende un integrale di volume, ma un integrale su linea orientata, cioè una circuitazione. Se ti interessa approfondire fammelo sapere. Confondere i due concetti è ritenuto abbastanza grave.
Quando si dice che l'energia potenziale è l'integrale della forza, non si intende un integrale di volume, ma un integrale su linea orientata, cioè una circuitazione. Se ti interessa approfondire fammelo sapere. Confondere i due concetti è ritenuto abbastanza grave.
Credo che ci sia stata un po di confusione: se avessi avuto una forza non puramente radiale, bensi:
$ vec F -= vec F (r,theta,phi) $
Come avrei dovuto integrare in questo caso?
$ vec F -= vec F (r,theta,phi) $
Come avrei dovuto integrare in questo caso?
Mi dispiace deluderti, ma non sarebbe cambiato niente. L'integrale rimane comunque un integrale di linea.
Il fatto di avere più coordinate, non significa che l'integrale sia un integrale di volume. Basti pensare che una linea nello spazio si
può assegnare dando le coordinate dei suoi punti in funzione di un solo parametro. Questo procedimento si chiana "parametrizzazione".
Il fatto di avere più coordinate, non significa che l'integrale sia un integrale di volume. Basti pensare che una linea nello spazio si
può assegnare dando le coordinate dei suoi punti in funzione di un solo parametro. Questo procedimento si chiana "parametrizzazione".
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