Esercizio teorema di Stokes
Salve a tutti, vi chiedo una mano per risolvere quest'esercizio sul teorema di Stokes:
"Dato a > 0, siano F (x, y, z) = (3y, −2xz, x2 − y2) un campo vettoriale e
A = {(x,y,z) ∈ R3 : x2 +y2 +z2 = a2 , z ≥ 0} una semi-sfera. Verificare la validita ́ del Teorema di Stokes per il campo vettoriale F sul dominio A."
Allora in pratica devo provare: $\int int _(+deltaA) w = int _A (rotF, n)$ con n versore normale alla superficie.
Cominciando dalla seconda parte dell'uguaglianza abbiamo: $\ rot F = (2x-2y, -2x, -2z-3)$
Per quanto riguarda il versore posso dire che questo è semplicemente uguale a $\nablaF$ dividendo poi per la norma? Oppure e necessaria una parametrizzazione imponendo poi $\ n = (g_theta Lambda g_phi)/|(g_theta Lambda g_phi)|$ con g funzione parametrizzante (derivata rispetto la variabile indicata come pedice) e $\theta, phi$ nuovi parametri della mia curva?
Procedendo dando per corretto il secondo caso mi trovo abbastanza in difficoltà sui calcoli infatti passando in coordinate sferiche: $\{( x = acosthetasinphi), (y = asinthetasinphi), (z = acosphi):}$ ottenendo quindi $\g_theta = (-asinthetasinphi, acosthetasinphi, 0)$ e $\g_phi=(acosthetacosphi, asinthetacosphi, -asinphi)$, con il loro prodotto vettoriale pari a: $\(-a^2costhetasin^2phi, asinthetasin^2phi, a^2cos^2thetacos^2phi + a^2sin^2thetasinphicosphi)$. Il tutto andrebbe diviso per la norma e moltiplicato scalarmente per le componenti del rotore di F...il che mi pare un po' troppo complicato..soprattutto in ottica dell'integrale successivo!
Procedendo utilizzando invece il primo metodo (della cui correttezza sono meno sicuro) otterrei $\ (rotF, n) = (4x^2-4z^2-16xy-6z)/(4x^2+4y^2+4z^2)^(1/2)$ A questo punto però per integrare sulla superficie dovrei di nuovo parametrizzare e a meno che non voglia prendere x e y come parametri e scrivere z=f(x,y) devo di nuovo passare in coordinate sferiche?
Fin qui è giusto quello che ho fatto? I due procedimenti si equivalgono?
"Dato a > 0, siano F (x, y, z) = (3y, −2xz, x2 − y2) un campo vettoriale e
A = {(x,y,z) ∈ R3 : x2 +y2 +z2 = a2 , z ≥ 0} una semi-sfera. Verificare la validita ́ del Teorema di Stokes per il campo vettoriale F sul dominio A."
Allora in pratica devo provare: $\int int _(+deltaA) w = int _A (rotF, n)$ con n versore normale alla superficie.
Cominciando dalla seconda parte dell'uguaglianza abbiamo: $\ rot F = (2x-2y, -2x, -2z-3)$
Per quanto riguarda il versore posso dire che questo è semplicemente uguale a $\nablaF$ dividendo poi per la norma? Oppure e necessaria una parametrizzazione imponendo poi $\ n = (g_theta Lambda g_phi)/|(g_theta Lambda g_phi)|$ con g funzione parametrizzante (derivata rispetto la variabile indicata come pedice) e $\theta, phi$ nuovi parametri della mia curva?
Procedendo dando per corretto il secondo caso mi trovo abbastanza in difficoltà sui calcoli infatti passando in coordinate sferiche: $\{( x = acosthetasinphi), (y = asinthetasinphi), (z = acosphi):}$ ottenendo quindi $\g_theta = (-asinthetasinphi, acosthetasinphi, 0)$ e $\g_phi=(acosthetacosphi, asinthetacosphi, -asinphi)$, con il loro prodotto vettoriale pari a: $\(-a^2costhetasin^2phi, asinthetasin^2phi, a^2cos^2thetacos^2phi + a^2sin^2thetasinphicosphi)$. Il tutto andrebbe diviso per la norma e moltiplicato scalarmente per le componenti del rotore di F...il che mi pare un po' troppo complicato..soprattutto in ottica dell'integrale successivo!
Procedendo utilizzando invece il primo metodo (della cui correttezza sono meno sicuro) otterrei $\ (rotF, n) = (4x^2-4z^2-16xy-6z)/(4x^2+4y^2+4z^2)^(1/2)$ A questo punto però per integrare sulla superficie dovrei di nuovo parametrizzare e a meno che non voglia prendere x e y come parametri e scrivere z=f(x,y) devo di nuovo passare in coordinate sferiche?
Fin qui è giusto quello che ho fatto? I due procedimenti si equivalgono?
Risposte
Usa \(\displaystyle dA= {g}_{\theta} \times {g}_{\phi}\)
Alora non devi dividere per la norma.
Guarda qui (example 4) per un esempio.
http://www.math24.net/surface-integrals-of-second-kind.html
p.s. Penso che il z componente del tuo prodotto vettoriale \(\displaystyle \displaystyle {\left(-{{a}}^{{2}}{\cos{\theta}}{{\sin}}^{{2}}\phi,{a}{\sin{\theta}}{{\sin}}^{{2}}\phi,{{a}}^{{2}}{{\cos}}^{{2}}\theta{{\cos}}^{{2}}\phi+{{a}}^{{2}}{{\sin}}^{{2}}\theta{\sin{\phi}}{\cos{\phi}}\right)} \) non è corretto.
Alora non devi dividere per la norma.
Guarda qui (example 4) per un esempio.
http://www.math24.net/surface-integrals-of-second-kind.html
p.s. Penso che il z componente del tuo prodotto vettoriale \(\displaystyle \displaystyle {\left(-{{a}}^{{2}}{\cos{\theta}}{{\sin}}^{{2}}\phi,{a}{\sin{\theta}}{{\sin}}^{{2}}\phi,{{a}}^{{2}}{{\cos}}^{{2}}\theta{{\cos}}^{{2}}\phi+{{a}}^{{2}}{{\sin}}^{{2}}\theta{\sin{\phi}}{\cos{\phi}}\right)} \) non è corretto.
In questo tipo di esercizio pensavo mi convenisse normalizzare per non dover moltiplicare scalarmente due volte! In questo modo $\ dA = d theta dphi$. Altrimenti se ho ben capito avrei: $\ ((rot F, |g_theta X g_phi|), |g_theta X g_phi|)d theta dphi$ O sto sbagliando qualcosa?
P.S. per l'ultimo termine ricontrollo i calcoli...a questo punto penso anch'io che sia sbagliato xD
P.S. per l'ultimo termine ricontrollo i calcoli...a questo punto penso anch'io che sia sbagliato xD
Io volevo dire
\( \displaystyle dA=
\begin{vmatrix}
\vec{x} & \vec{y} & \vec{z} \\
\frac{\partial x}{\partial \theta } & \frac{\partial y}{\partial \theta } & \frac{\partial z}{\partial \theta } \\
\frac{\partial x}{\partial \phi } & \frac{\partial y}{\partial \phi } & \frac{\partial z}{\partial \phi }
\end{vmatrix}
d\theta d\phi =\begin{vmatrix}\vec{x} & \vec{y} & \vec{z} \\
-\text{asin}(\theta )\sin (\phi ) & \text{acos}(\theta )\sin (\phi ) & 0 \\
\text{acos}(\theta )\cos (\phi ) & \text{asin}(\theta )\cos (\phi ) & -\text{asin}(\phi )
\end{vmatrix} d\theta d\phi \)
\( \displaystyle
\iint (2x-2y,-2x,-2z-3)dA=\iint(2x-2y,-2x,-2z-3)
\begin{vmatrix}
\vec{x} & \vec{y} & \vec{z} \\
-\text{asin}(\theta )\sin (\phi ) & \text{acos}(\theta )\sin (\phi ) & 0 \\
\text{acos}(\theta )\cos (\phi ) & \text{asin}(\theta )\cos (\phi ) & -\text{asin}(\phi )
\end{vmatrix}
d\theta d\phi\)
ma ci sono altri metodi.
\( \displaystyle dA=
\begin{vmatrix}
\vec{x} & \vec{y} & \vec{z} \\
\frac{\partial x}{\partial \theta } & \frac{\partial y}{\partial \theta } & \frac{\partial z}{\partial \theta } \\
\frac{\partial x}{\partial \phi } & \frac{\partial y}{\partial \phi } & \frac{\partial z}{\partial \phi }
\end{vmatrix}
d\theta d\phi =\begin{vmatrix}\vec{x} & \vec{y} & \vec{z} \\
-\text{asin}(\theta )\sin (\phi ) & \text{acos}(\theta )\sin (\phi ) & 0 \\
\text{acos}(\theta )\cos (\phi ) & \text{asin}(\theta )\cos (\phi ) & -\text{asin}(\phi )
\end{vmatrix} d\theta d\phi \)
\( \displaystyle
\iint (2x-2y,-2x,-2z-3)dA=\iint(2x-2y,-2x,-2z-3)
\begin{vmatrix}
\vec{x} & \vec{y} & \vec{z} \\
-\text{asin}(\theta )\sin (\phi ) & \text{acos}(\theta )\sin (\phi ) & 0 \\
\text{acos}(\theta )\cos (\phi ) & \text{asin}(\theta )\cos (\phi ) & -\text{asin}(\phi )
\end{vmatrix}
d\theta d\phi\)
ma ci sono altri metodi.
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