Esercizio Taylor con variabile
Salve a tutti, volevo chiedere aiuto per quanto riguarda questo esercizio:
"Calcolare mediante la formula di Taylor,$\lim_{x \to \0}\frac{1+\lambdax^(2)-cos(sin(2x))}{x^4}$", al variare del parametro reale $\lambda$"
Ho provato ad applicare Taylor per sviluppare il coseno fino al quarto grado, ma non sono sicuro se quanto ho fatto è giusto:
$cos(sin(2x))=1-\frac{sin^2(2x)}{2}+\frac{sin^4(2x)}{24}$
{in questo modo l'uno e il meno uno(ha il meno davanti il coseno) a numeratore si andrebbero a togliere}.
I miei dubbi sono 2:
1) l'o piccolo, nel caso in cui lo sviluppo fosse corretto. sarebbe $\sigma[sin^4(2x)]$?
2) se invece non fosse corretto, come dovrei comportarmi davanti a un esercizio del genere? dovrei prima sviluppare il seno e successivamente il coseno?
Grazie mille
"Calcolare mediante la formula di Taylor,$\lim_{x \to \0}\frac{1+\lambdax^(2)-cos(sin(2x))}{x^4}$", al variare del parametro reale $\lambda$"
Ho provato ad applicare Taylor per sviluppare il coseno fino al quarto grado, ma non sono sicuro se quanto ho fatto è giusto:
$cos(sin(2x))=1-\frac{sin^2(2x)}{2}+\frac{sin^4(2x)}{24}$
{in questo modo l'uno e il meno uno(ha il meno davanti il coseno) a numeratore si andrebbero a togliere}.
I miei dubbi sono 2:
1) l'o piccolo, nel caso in cui lo sviluppo fosse corretto. sarebbe $\sigma[sin^4(2x)]$?
2) se invece non fosse corretto, come dovrei comportarmi davanti a un esercizio del genere? dovrei prima sviluppare il seno e successivamente il coseno?
Grazie mille
Risposte
Ciao, siccome il denominatore è del quarto ordine conviene sviluppare il numeratore fino a tale ordine:
\[ \lim_{ x \to 0 } \frac{ 1+ \lambda x^2 - \cos(\sin(2x))}{x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{ 1+ \lambda x^2 -1 + \frac{\sin^2(2x)}{2} - \frac{\sin^4(2x)}{24} + o(\sin^5(2x))}{x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{ \lambda x^2 + \frac{1}{2} (2x -8x^3 /6 + o(x^4))^2 -\frac{1}{24}(2x -8x^3 /6 + o(x^4))^4 + o(x^5)}{x^4} = \lim_{x \to 0 } \frac{ \lambda x^2 +2x^2 -8x^4/3 -2x^4/3 +o(x^4)}{x^4} = \lim_{ x \to 0} \frac{ (\lambda + 2)x^2 -10x^4/3 +o(x^4) }{x^4} = \begin{cases} - \infty \quad \text{se } \lambda <-2 \\ -10/3 \quad \text{se } \lambda=-2 \\ + \infty \quad \text{se } \lambda >-2 \end{cases}\]
Per quanto riguarda le tue domande
1) Si, ma in questo caso puoi essere più preciso perché sai che il termine con \( \sin^5(2x) \) non c'è, avrai quindi un \(o(\sin^5(2x)) \).
2) E' corretto!
\[ \lim_{ x \to 0 } \frac{ 1+ \lambda x^2 - \cos(\sin(2x))}{x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{ 1+ \lambda x^2 -1 + \frac{\sin^2(2x)}{2} - \frac{\sin^4(2x)}{24} + o(\sin^5(2x))}{x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{ \lambda x^2 + \frac{1}{2} (2x -8x^3 /6 + o(x^4))^2 -\frac{1}{24}(2x -8x^3 /6 + o(x^4))^4 + o(x^5)}{x^4} = \lim_{x \to 0 } \frac{ \lambda x^2 +2x^2 -8x^4/3 -2x^4/3 +o(x^4)}{x^4} = \lim_{ x \to 0} \frac{ (\lambda + 2)x^2 -10x^4/3 +o(x^4) }{x^4} = \begin{cases} - \infty \quad \text{se } \lambda <-2 \\ -10/3 \quad \text{se } \lambda=-2 \\ + \infty \quad \text{se } \lambda >-2 \end{cases}\]
Per quanto riguarda le tue domande
1) Si, ma in questo caso puoi essere più preciso perché sai che il termine con \( \sin^5(2x) \) non c'è, avrai quindi un \(o(\sin^5(2x)) \).
2) E' corretto!
Grazie mille sei stato gentilissimo, ho provato a seguire i tuoi passaggi (mi hai anche chiarito una cosa sugli sviluppi te ne sono grato 
), però io alla fine arrivo a questa conclusione (ho semplicemente diviso entrambi per $x^4$ per capire meglio al variare di lambda cosa succede):
\[\lim_{ x \to 0 } \frac{ (\lambda+2) }{x^2} -10/3 =\begin{cases} - \infty \quad \text{se } \lambda <-2 \\ -10/3 \quad \text{se } \lambda=-2 \\ + \infty \quad \text{se } \lambda >-2 \end{cases} \]
Perché con lambda uguale a due è corretto applicare due volte De L'Hospital dato che viene fuori per due volte la forma indeterminata $[0/0]$ ?
O mi sono perso qualche passaggio? Grazie ancora
), però io alla fine arrivo a questa conclusione (ho semplicemente diviso entrambi per $x^4$ per capire meglio al variare di lambda cosa succede):\[\lim_{ x \to 0 } \frac{ (\lambda+2) }{x^2} -10/3 =\begin{cases} - \infty \quad \text{se } \lambda <-2 \\ -10/3 \quad \text{se } \lambda=-2 \\ + \infty \quad \text{se } \lambda >-2 \end{cases} \]
Perché con lambda uguale a due è corretto applicare due volte De L'Hospital dato che viene fuori per due volte la forma indeterminata $[0/0]$ ?
O mi sono perso qualche passaggio? Grazie ancora
Si si, hai ragione sul \( -10/3 \), avevo sbagliato mentre scrivevo la risposta e ho corretto il penultimo passaggio ma non l'ultimo.
Attento che quando dividi sopra e sotto per \( x^4 \) ottieni \( -10/3 + o(1) \) e l'ultimo termine non va omesso!
Quando \( \lambda = -2 \) non serve De l'Hospital: ottieni semplicemente
\[ \lim_{ x \to 0} -10/3 + o(1) = -10/3 \]
Non c'è alcuna forma indeterminata, prima ancora di fare il limite hai semplicemente \( -10/3 + o(1) \).
Attento che quando dividi sopra e sotto per \( x^4 \) ottieni \( -10/3 + o(1) \) e l'ultimo termine non va omesso!
Quando \( \lambda = -2 \) non serve De l'Hospital: ottieni semplicemente
\[ \lim_{ x \to 0} -10/3 + o(1) = -10/3 \]
Non c'è alcuna forma indeterminata, prima ancora di fare il limite hai semplicemente \( -10/3 + o(1) \).
Grazie mille per le delucidazioni, sei stato gentilissimo 
!
Ma a ripensarci \[ \lim_{ x \to 0} -10/3 + o(1) = -10/3 \] questo risultato si può comunque ottenere $AA\lambda in R$ ?
!Ma a ripensarci \[ \lim_{ x \to 0} -10/3 + o(1) = -10/3 \] questo risultato si può comunque ottenere $AA\lambda in R$ ?
Non capisco,
se \(\lambda = -2 \) allora il tuo limite diventa \( \lim_{x \to 0} -10/3 +o(1) = -10/3 \) e non dipende da \( \lambda \).
se \( \lambda \ne -2 \) allora il tuo limite diventa \( \lim_{x \to 0} \frac{\lambda+2}{x^2} -10/3 +o(1) \) e dipende dal segno di \( \lambda \) (ma è comunque sempre o \(- \infty \) o \(+ \infty\).
se \(\lambda = -2 \) allora il tuo limite diventa \( \lim_{x \to 0} -10/3 +o(1) = -10/3 \) e non dipende da \( \lambda \).
se \( \lambda \ne -2 \) allora il tuo limite diventa \( \lim_{x \to 0} \frac{\lambda+2}{x^2} -10/3 +o(1) \) e dipende dal segno di \( \lambda \) (ma è comunque sempre o \(- \infty \) o \(+ \infty\).
Perfetto grazie mille, mi hai aiutato molto!
Bene, sono contento!
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