Esercizio Taylor
Data la funzione $ f(x)=log((1-5x^4)/(1-3x^2)) $ si determini:
1- se esiste una parabola p(x) tale che f(x) - p(x) ha massimo locale in x0 = 0
2- quante parabole soddisfano la condizione del punto 1
3- se esiste una parabola $ q(x) $ tale che:
$ lim_(x -> 0) (f(x)-q(x))/(x^2cosx -x^2)=1 $
Questo è un esercizio di un foglio sui polinomi di Taylor che non riesco a svolgere, avevo pensato di utilizzare lo sviluppo di Taylor della funzione f(x) fino al secondo grado ..ma non riesco a giungere ad una soluzione..qualche idea?
1- se esiste una parabola p(x) tale che f(x) - p(x) ha massimo locale in x0 = 0
2- quante parabole soddisfano la condizione del punto 1
3- se esiste una parabola $ q(x) $ tale che:
$ lim_(x -> 0) (f(x)-q(x))/(x^2cosx -x^2)=1 $
Questo è un esercizio di un foglio sui polinomi di Taylor che non riesco a svolgere, avevo pensato di utilizzare lo sviluppo di Taylor della funzione f(x) fino al secondo grado ..ma non riesco a giungere ad una soluzione..qualche idea?
Risposte
Scrivi la funzione così: $f(x)=\log(1-5x^4)-\log(1-3x^2)$ e usa lo sviluppo notevole $\log(1+t)=t-t^2/2+o(t^2)$.
Ok allora sviluppo la funzione fino al secondo grado, e quella sarebbe la parabola chiesta nel primo punto?
No. Quello che ti viene richiesto è se esiste una parabola $p(x)=ax^2+bx+c$ tale che la funzione $g(x)=f(x)-p(x)$ abbia un massimo in $x_0=0$. Ricorda che le condizioni per il massimo sono che $g'(0)=0,\ g''(0)>0$. Quindi dovrai, in qualche modo, determinare i coefficienti $a,b,c$ per determinare una funzione $g$ che soddisfa tali caratteristiche.
Ho scritto na fregnaccia sopra me ne sono accorta, quindi quello che devo fare è..svilupparmi la funzione f(x) mediante Taylor fino al secondo grado e poi porre $g(x) = f(x)-p(x)$, di questa faccio la derivata seconda e vedo quando è <0 (poiché cerco il massimo)? questo per il punto uno
Perché farne le derivate? I coefficienti dello sviluppo di Taylor sono già le derivate nel punto. Ricordati che i coefficienti dello sviluppo di Taylor della funzione $g(x)$ centrata nel punto $x_0$ soddisfano la relazione
$a_n=\frac{g^{(n)}(x_0)}{n!}$
$a_n=\frac{g^{(n)}(x_0)}{n!}$
quindi alla fine devo trovarmi solamente i valori per cui g(x) è <0?
Non ho capito cosa centri $g$: tu devi verificare le condizioni che ti ho detto prima su $g'$ e $g''$. Dunque, vediamo: lo sviluppo della funzione è
$$f(x)=-5x^4+o(x^4)-\left(-3x^2+\frac{9x^4}{2}+o(x^4)\right)=3x^2-\frac{19 x^4}{2}+o(x^4)$$
Pertanto
$$g(x)=3x^2-\frac{19 x^4}{2}+o(x^4)-ax^2-bx-c=-c-bx+(3-a)x^2+o(x^2)$$
Le condizioni da soddisfare per avere il massimo locale in $x=0$ equivalgono a dire che
$$g'(0)=a_1=-b=0,\qquad g''(0)=2a_2=2(3-a)<0$$
e pertanto la parabola cercata è una tra le seguenti
$$p(x)=ax^2+c,\qquad a>3$$
$$f(x)=-5x^4+o(x^4)-\left(-3x^2+\frac{9x^4}{2}+o(x^4)\right)=3x^2-\frac{19 x^4}{2}+o(x^4)$$
Pertanto
$$g(x)=3x^2-\frac{19 x^4}{2}+o(x^4)-ax^2-bx-c=-c-bx+(3-a)x^2+o(x^2)$$
Le condizioni da soddisfare per avere il massimo locale in $x=0$ equivalgono a dire che
$$g'(0)=a_1=-b=0,\qquad g''(0)=2a_2=2(3-a)<0$$
e pertanto la parabola cercata è una tra le seguenti
$$p(x)=ax^2+c,\qquad a>3$$
Ok svolgendo nuovamente poi il primo punto dell'esercizio, il risultato mi viene identico al tuo 
per il secondo punto invece, la risposta non è semplicemente per infinite parabole?..
per il punto tre invece ho fatto così: $ lim_(x -> 0) (3x^2-1/2x^4+o(x^4)-ax^2-bx-c)/((-x^4/2)+o(x^4)) $
quindi alla fine una parabola che soddisfi tale limite è una parabola che ha a=3 e b=c=0
per il secondo punto invece, la risposta non è semplicemente per infinite parabole?..
per il punto tre invece ho fatto così: $ lim_(x -> 0) (3x^2-1/2x^4+o(x^4)-ax^2-bx-c)/((-x^4/2)+o(x^4)) $
quindi alla fine una parabola che soddisfi tale limite è una parabola che ha a=3 e b=c=0
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