Esercizio [Sviluppo di Taylor]
Salve a tutti dovrei classificare le singolarità della seguente funzione:
$f(z)=z/((e^(2piz^2)-1)(z^(2)-j))$
e ho pensato che potrei sviluppare in serie di Taylor l'esponenziale al denominatore partendo dallo sviluppo dell'esponenziale $e^w=1+w+w^2/(2!)+w^3/(3!)+...$ e operando la sostituzione $w=2piz^2$.Dunque:
$e^(2piz^2)=1+2piz^2+2pi^2z^4+(4pi^3z^6)/3+...$ $->$ $e^(2piz^2)-1=1+2piz^2+2pi^2z^4+(4pi^3z^6)/3+...-1$ $->$ $e^(2piz^2)-1=2piz^2+2pi^2z^4+(4pi^3z^6)/3+...$ .
A quale ordine bisogna fermarsi?
Vi ringrazio in anticipo!
$f(z)=z/((e^(2piz^2)-1)(z^(2)-j))$
e ho pensato che potrei sviluppare in serie di Taylor l'esponenziale al denominatore partendo dallo sviluppo dell'esponenziale $e^w=1+w+w^2/(2!)+w^3/(3!)+...$ e operando la sostituzione $w=2piz^2$.Dunque:
$e^(2piz^2)=1+2piz^2+2pi^2z^4+(4pi^3z^6)/3+...$ $->$ $e^(2piz^2)-1=1+2piz^2+2pi^2z^4+(4pi^3z^6)/3+...-1$ $->$ $e^(2piz^2)-1=2piz^2+2pi^2z^4+(4pi^3z^6)/3+...$ .
A quale ordine bisogna fermarsi?
Vi ringrazio in anticipo!
Risposte
Il primo fattore del denominatore si annulla per $z = \pmsqrt(2k)/2\pmisqrt(2k)/2$ con $kinZZ$.
"speculor":
Il primo fattore del denominatore si annulla per $z = \pmsqrt(2k)/2\pmisqrt(2k)/2$ con $kinZZ$.
Ti ringrazio per la risposta!Anche io inizialmente avevo trovato gli zeri del primo fattore del denominatore in questo modo.Solo che se oltre alla classificazione dovessi calcolare anche i residui sarebbe più comodo avere un polinomio al posto di quell'esponenziale lì.
Ecco perchè volevo constatare se si poteva procedere con lo sviluppo in serie di Taylor
La mia era solo una osservazione preliminare, per classificare le singolarità devi comunque procedere. Stai attento agli zeri del secondo fattore.
"folgore":
[quote="speculor"]Il primo fattore del denominatore si annulla per $z = \pmsqrt(2k)/2\pmisqrt(2k)/2$ con $kinZZ$.
Ti ringrazio per la risposta!Anche io inizialmente avevo trovato gli zeri del primo fattore del denominatore in questo modo. Solo che se oltre alla classificazione dovessi calcolare anche i residui sarebbe più comodo avere un polinomio al posto di quell'esponenziale lì.
Ecco perchè volevo constatare se si poteva procedere con lo sviluppo in serie di Taylor
[/quote]Non puoi cambiare la funzione come ti fa più comodo quando calcoli i residui.
"gugo82":
Non puoi cambiare la funzione come ti fa più comodo quando calcoli i residui.
Quindi nel calcolo pratico dei residui se approssimo con Taylor l'esponenziale fermandomi ad esempio all'ordine $2$(ossia $e^(2piz^2)=1+2piz^2+2piz^4$ $->$ $e^(2piz^2)-1=2piz^2+2piz^4$) non posso farlo?Posso solo sfruttare la serie di Taylor per stabilire l'ordine degli zeri?
Dipende da come vuoi procedere.
Prendiamo:
[tex]$f(z):=\frac{1}{(e^z-1)^2}$[/tex];
evidentemente essa ha un polo d'ordine [tex]$2$[/tex] in [tex]$z_0=0$[/tex] (perchè il denominatore ha uno zero doppio in $z_0$ il cui ordine non è compensato dal numeratore).
Per calcolare il residuo si usa la formula classica:
[tex]$\text{Res} (f(z);0)=\lim_{z\to 0} \frac{1}{1!}\ \frac{\text{d}}{\text{d} z}\left[ \frac{z^2}{(e^z-1)^2}\right]$[/tex]
[tex]$=\lim_{z\to 0} \frac{2z(e^z-1)^2-2z^2e^z(e^z-1)}{(e^z-1)^4}$[/tex]
[tex]$=\lim_{z\to 0} \frac{2z(e^z-1)-2z^2e^z}{(e^z-1)^3}$[/tex]
[tex]$=\lim_{z\to 0} \frac{2z(z+\frac{1}{2}z^2+\text{o}(z^2))-2z^2(1+z+\text{o}(z))}{(z+\text{o}(z))^3}$[/tex] (sviluppo di Taylor)
[tex]$=\lim_{z\to 0} \frac{-1+\frac{\text{o}(z^3)}{z^3}}{(1+\frac{\text{o}(z)}{z})^3}$[/tex]
[tex]$=-1$[/tex].
Proviamo adesso ad approssimare con Taylor [tex]$e^z-1\approx z$[/tex] subito:
[tex]$\text{Res} (f(z);0)=\lim_{z\to 0} \frac{1}{1!}\ \frac{\text{d}}{\text{d} z}\left[ \frac{z^2}{(e^z-1)^2}\right]$[/tex]
[tex]$=\lim_{z\to 0} \frac{\text{d}}{\text{d} z}\left[ \frac{z^2}{z^2}\right]$[/tex]
[tex]$=\lim_{z\to 0} \frac{\text{d}}{\text{d} z}\left[ 1\right]$[/tex]
[tex]$=0$[/tex].
Prendiamo:
[tex]$f(z):=\frac{1}{(e^z-1)^2}$[/tex];
evidentemente essa ha un polo d'ordine [tex]$2$[/tex] in [tex]$z_0=0$[/tex] (perchè il denominatore ha uno zero doppio in $z_0$ il cui ordine non è compensato dal numeratore).
Per calcolare il residuo si usa la formula classica:
[tex]$\text{Res} (f(z);0)=\lim_{z\to 0} \frac{1}{1!}\ \frac{\text{d}}{\text{d} z}\left[ \frac{z^2}{(e^z-1)^2}\right]$[/tex]
[tex]$=\lim_{z\to 0} \frac{2z(e^z-1)^2-2z^2e^z(e^z-1)}{(e^z-1)^4}$[/tex]
[tex]$=\lim_{z\to 0} \frac{2z(e^z-1)-2z^2e^z}{(e^z-1)^3}$[/tex]
[tex]$=\lim_{z\to 0} \frac{2z(z+\frac{1}{2}z^2+\text{o}(z^2))-2z^2(1+z+\text{o}(z))}{(z+\text{o}(z))^3}$[/tex] (sviluppo di Taylor)
[tex]$=\lim_{z\to 0} \frac{-1+\frac{\text{o}(z^3)}{z^3}}{(1+\frac{\text{o}(z)}{z})^3}$[/tex]
[tex]$=-1$[/tex].
Proviamo adesso ad approssimare con Taylor [tex]$e^z-1\approx z$[/tex] subito:
[tex]$\text{Res} (f(z);0)=\lim_{z\to 0} \frac{1}{1!}\ \frac{\text{d}}{\text{d} z}\left[ \frac{z^2}{(e^z-1)^2}\right]$[/tex]
[tex]$=\lim_{z\to 0} \frac{\text{d}}{\text{d} z}\left[ \frac{z^2}{z^2}\right]$[/tex]
[tex]$=\lim_{z\to 0} \frac{\text{d}}{\text{d} z}\left[ 1\right]$[/tex]
[tex]$=0$[/tex].
Le seguenti informazioni dovrebbero essere utili per classificare le singolarità:
$z_0 = \pmsqrt(2k)/2pmisqrt(2k)/2$ $kinZZ$
$e^(2\piz^2) - 1 ~= 2\piz^2$ per $z to z_0$ con $z_0 = 0$
$e^(2\piz^2) - 1 ~= 4\piz_0e^(2\piz_0^2)(z - z_0)$ per $z to z_0$ con $z_0 != 0$
$z_0 = \pmsqrt(2k)/2pmisqrt(2k)/2$ $kinZZ$
$e^(2\piz^2) - 1 ~= 2\piz^2$ per $z to z_0$ con $z_0 = 0$
$e^(2\piz^2) - 1 ~= 4\piz_0e^(2\piz_0^2)(z - z_0)$ per $z to z_0$ con $z_0 != 0$
"gugo82":
Dipende da come vuoi procedere.
Prendiamo:
[tex]$f(z):=\frac{1}{(e^z-1)^2}$[/tex];
evidentemente essa ha un polo d'ordine [tex]$2$[/tex] in [tex]$z_0=0$[/tex] (perchè il denominatore ha uno zero doppio in $z_0$ il cui ordine non è compensato dal numeratore).
Per calcolare il residuo si usa la formula classica:
[tex]$\text{Res} (f(z);0)=\lim_{z\to 0} \frac{1}{1!}\ \frac{\text{d}}{\text{d} z}\left[ \frac{z^2}{(e^z-1)^2}\right]$[/tex]
[tex]$=\lim_{z\to 0} \frac{2z(e^z-1)^2-2z^2e^z(e^z-1)}{(e^z-1)^4}$[/tex]
[tex]$=\lim_{z\to 0} \frac{2z(e^z-1)-2z^2e^z}{(e^z-1)^3}$[/tex]
[tex]$=\lim_{z\to 0} \frac{2z(z+\frac{1}{2}z^2+\text{o}(z^2))-2z^2(1+z+\text{o}(z))}{(z+\text{o}(z))^3}$[/tex] (sviluppo di Taylor)
[tex]$=\lim_{z\to 0} \frac{-1+\frac{\text{o}(z^3)}{z^3}}{(1+\frac{\text{o}(z)}{z})^3}$[/tex]
[tex]$=-1$[/tex].
Proviamo adesso ad approssimare con Taylor [tex]$e^z-1\approx z$[/tex] subito:
[tex]$\text{Res} (f(z);0)=\lim_{z\to 0} \frac{1}{1!}\ \frac{\text{d}}{\text{d} z}\left[ \frac{z^2}{(e^z-1)^2}\right]$[/tex]
[tex]$=\lim_{z\to 0} \frac{\text{d}}{\text{d} z}\left[ \frac{z^2}{z^2}\right]$[/tex]
[tex]$=\lim_{z\to 0} \frac{\text{d}}{\text{d} z}\left[ 1\right]$[/tex]
[tex]$=0$[/tex].
Praticamente se si vuole usare lo sviluppo di Taylor bisogna scegliere appropriatamente l'ordine altrimenti poi nel calcolo dei residui si ottiene un risultato completamente
diverso...infatti quando hai approssimato $e^z-1 \approx z$ il residuo risultava pari a $0$ piuttosto che $-1$ che è il risultato che viene fuori (senza usare Taylor) dal calcolo classico:
$R_(f)[0]=1/(1!) \lim_{z\to 0} d/(dz)[z^2/(e^z-1)^2]=-1$.
P.S.Ti ringrazio Speculor!
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