Esercizio sviluppo di Taylor

[Lomels]

Buongiorno, sono uno studente di Ingegneria alle prese con l'esame di analisi 1.
Ieri esercitandomi con degli esami passati, mi sono imbattuto nello sviluppo del seguente polinomio di Taylor, con ordine n=9 e centro x0 = 0:

$ f(x) = cos (ln (1+ax^3)), a!= 0 $

Ho svolto l'esercizio sviluppando $ ln(1+ax^3) $ fino al terzo ordine, ottenendo:

$ g(x)=ln(1+ax^2) = ax^3 -(a^2 x^6)/2 + (a^3 x^9)/3 + o(x^9) $

Poi ho svolto il $cos(g(x))$ fino al quarto ordine, per evitare che $x^9$ scomparisse, ottenendo questo risultato:

$ f(x) = 1 - ((ax^3 -(a^2 x^6)/2 + (a^3 x^9)/3 + o(x^9))^2)/2 + ((ax^3 -(a^2 x^6)/2 + (a^3 x^9)/3 + o(x^9))^4)/(4!) + o((ax^3 -(a^2 x^6)/2 + (a^3 x^9)/3 + o(x^9))^4) $

Svolgendo i vari calcoli ho ottenuto il risultato:

$ f(x) = 1 - (a^2 x^6)/2 + (a^3 x^9)/2 - (a^4x^12)(5/12) + o(x^12) $

Quando sono andato a controllare lo svolgimento del professore ho notato che ho svolto correttamente il logaritmo fino al terzo ordine, ma che lui nello svolgimento del coseno, si ferma al secondo ordine e non al quarto! Il suo risultato quindi è:

$ f(x) = 1 - (a^2 x^6)/2 + (a^3 x^9)/2 + o(x^9) $

La mia domanda dunque è: per quale motivo si è fermato al secondo ordine? $x^9$ non sarebbe dovuto scomparire?
Precisamente, sviluppandolo al secondo ordine otterrei:

$ o((ax^3 -(a^2 x^6)/2 + (a^3 x^9)/3 + o(x^9))^2) = o(x^6) $

Dall'algebra degli o-piccoli so che $ o(o(x^a)) = o(x^a) $, ma in questo caso oltre ad $ o(x^9)$ sono presenti altre cose più piccole di $x^9$, quindi non dovrebbe valere la proprietà precedente, oppure mi sto sbagliando? Il mio risultato anche se compare un ordine in più nel risultato andrebbe comunque bene o sarebbe un errore grave?

Grazie mille delle eventuali risposte, se non sono stato chiaro posso allegare la foto della soluzione del docente.

[Obidream]

"Lomels":Buongiorno, sono uno studente di Ingegneria alle prese con l'esame di analisi 1.
Ieri esercitandomi con degli esami passati, mi sono imbattuto nello sviluppo del seguente polinomio di Taylor, con ordine n=9 e centro x0 = 0:

$ f(x) = cos (ln (1+ax^3)), a!= 0 $

Ho svolto l'esercizio sviluppando $ ln(1+ax^3) $ fino al terzo ordine, ottenendo:

$ g(x)=ln(1+ax^2) = ax^3 -(a^2 x^6)/2 + (a^3 x^9)/3 + o(x^9) $

Poi ho svolto il $cos(g(x))$ fino al quarto ordine, per evitare che $x^9$ scomparisse

Io mi fermerei qui.
Allora, sviluppare sino ad $n=9$ cosa significa "operativamente"?