Esercizio sviluppo di Laurent
Salve. Chiedo scusa per l'elevato numero di discussioni che sto aprendo, ma in vista dell'esame sto cercando di aumentare le mie probabilità di successo 
Il tempo stringe (data fatidica: 14 giugno >.>) e i dubbi sono tanti.
L'esercizio è questo:
Devo fare lo sviluppo in serie di Laurent della funzione $ f(z) = \frac {cosz}{z^2} + \frac {z-1}{z+5} $ in un intorno
forato di $ Z_0 = 0 $ precisando il raggio di convergenza, scrivendo esplicitamente la parte singolare e almeno
4 termini della parte regolare. Dire di che tipo di singolarità si tratta e quanto vale il residuo di $ f(z) $ in $ Z_0 $.
Lo sviluppo del primo addendo è semplice, mentre ho problemi con il secondo. Quello che per ora ho scritto è:
$ f(z) = sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac {z^(2(n-1))}{(2n)!} + ??? $
Per la seconda parte, l'unica cosa che mi è venuta in mente è:
$ \frac {z-1}{z+5} = (z-1) \frac {1}{z+5} = (z-1) \frac {1}{5(\frac {z}{5} + 1)} = (z-1)\frac{1}{5}(\frac{z}{5})^n =
(z-1)\frac {z^n}{5^(n+1)} $
Poi mi blocco. La soluzione mi sconvolge, poiché il secondo addendo viene scritto come due sommatorie distinte ed
entrambe hanno un $ (-1)^n $. Indizi? :p
Il tempo stringe (data fatidica: 14 giugno >.>) e i dubbi sono tanti.L'esercizio è questo:
Devo fare lo sviluppo in serie di Laurent della funzione $ f(z) = \frac {cosz}{z^2} + \frac {z-1}{z+5} $ in un intorno
forato di $ Z_0 = 0 $ precisando il raggio di convergenza, scrivendo esplicitamente la parte singolare e almeno
4 termini della parte regolare. Dire di che tipo di singolarità si tratta e quanto vale il residuo di $ f(z) $ in $ Z_0 $.
Lo sviluppo del primo addendo è semplice, mentre ho problemi con il secondo. Quello che per ora ho scritto è:
$ f(z) = sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac {z^(2(n-1))}{(2n)!} + ??? $
Per la seconda parte, l'unica cosa che mi è venuta in mente è:
$ \frac {z-1}{z+5} = (z-1) \frac {1}{z+5} = (z-1) \frac {1}{5(\frac {z}{5} + 1)} = (z-1)\frac{1}{5}(\frac{z}{5})^n =
(z-1)\frac {z^n}{5^(n+1)} $
Poi mi blocco. La soluzione mi sconvolge, poiché il secondo addendo viene scritto come due sommatorie distinte ed
entrambe hanno un $ (-1)^n $. Indizi? :p
Risposte
L'hanno scritta come serie geometrica, no ?
Una per $z$ e l'altra per $-1$.
Una per $z$ e l'altra per $-1$.
Non riesco a capire >.> Quello che ho scritto è giusto?
Nella soluzione il termine (z-1) non c'è proprio.
Comincio ad intuire qualcosa (tranne il termine (z-1)). La serie geometrica converge per |z| < 1. Nel nostro
caso si hanno due aree diverse, una per |z| < 5 ed una per |z| > 5. Da questo derivano le due diverse sommatorie.
Quel che riesco ad ottenere però è:
Per |z| < 5
$ (z-1) \frac {z^n}{5^(n+1)} $
Per |z| > 5
$ (z-1) \frac {1}{z}(\frac {5}{z})^n = (z-1) \frac {5^n}{z^(n+1)} $
Nella soluzione il termine (z-1) non c'è proprio.
Comincio ad intuire qualcosa (tranne il termine (z-1)). La serie geometrica converge per |z| < 1. Nel nostro
caso si hanno due aree diverse, una per |z| < 5 ed una per |z| > 5. Da questo derivano le due diverse sommatorie.
Quel che riesco ad ottenere però è:
Per |z| < 5
$ (z-1) \frac {z^n}{5^(n+1)} $
Per |z| > 5
$ (z-1) \frac {1}{z}(\frac {5}{z})^n = (z-1) \frac {5^n}{z^(n+1)} $
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