Esercizio - Sup e inf di un insieme
$E = { x in RR : EE p , q in N - {0} , p < 2 q , p "pari" , q "dispari", x = p/q }$
Devo determinare l'estremo superiore e l'estremo inferiore di $E$.
Poiché $p < 2 q$
si ha che per un generico elemento $p/q in E$ : $1/2 < p/q < 2 $ (*)
Dovrei verificare la seguente cosa $AA epsilon > 0, EE bar x in E : bar x < 1/2 + epsilon$ ; analogamente per $2$. Il problema è che non so come fare.
$p/q - 1/2 < epsilon$
$(2p - q)/(2q) < epsilon$
$(2p - q)/(2q) < (2p - q)/p < epsilon$ (per le condizioni su $p, q$)
Ma ora?
Devo determinare l'estremo superiore e l'estremo inferiore di $E$.
Poiché $p < 2 q$
si ha che per un generico elemento $p/q in E$ : $1/2 < p/q < 2 $ (*)
Dovrei verificare la seguente cosa $AA epsilon > 0, EE bar x in E : bar x < 1/2 + epsilon$ ; analogamente per $2$. Il problema è che non so come fare.
$p/q - 1/2 < epsilon$
$(2p - q)/(2q) < epsilon$
$(2p - q)/(2q) < (2p - q)/p < epsilon$ (per le condizioni su $p, q$)
Ma ora?
Risposte
Ammesso di aver risolto il primo punto, devo determinare una successione $(x_n)_n$ a valori in $E$ che converga al superiore dell'insieme $E$ (che immagino sia $2$, per quanto osservato nel post precedente).
$x_n = (4n)/(2n + 1)$
1) $lim_n (4n)/(2n + 1) = 2$
2) $x_n in E , AA n in NN$ : infatti $4n$ è pari , $2n + 1$ è dispari e si ha $4n < 2 ( 2n + 1) = 4n + 2$.
E' corretto?
$x_n = (4n)/(2n + 1)$
1) $lim_n (4n)/(2n + 1) = 2$
2) $x_n in E , AA n in NN$ : infatti $4n$ è pari , $2n + 1$ è dispari e si ha $4n < 2 ( 2n + 1) = 4n + 2$.
E' corretto?
Io scriverei $E= \cup_{m=1}^{\infty} E_m$, con $E_m = \{\frac{2n}{2m+1}: n=1,\ldots,2m\}$.
Poiché $"inf" E = "inf"_{m\ge 1} "inf" E_m$, e $"sup" E = "sup"_{m\ge 1} "sup" E_m$, puoi prima calcolare
$"inf" E_m ="min" E_m = \frac{2}{2m+1}$, $"sup" E_m = "max" E_m = \frac{4m}{2m+1}$, per ogni $m\in\mathbb{Z}^+$.
A questo punto:
$"inf" E = "inf" \{\frac{2}{2m+1}: m\in\mathbb{Z}^+\} = \frac{2}{3} = \min E$,
mentre
$"sup" E = "sup" \{\frac{4m}{2m+1}: m\in\mathbb{Z}^+\} = 2$,
che evidentemente non è raggiunto dal momento che $x<2$ per ogni $x\in E$.
Poiché $"inf" E = "inf"_{m\ge 1} "inf" E_m$, e $"sup" E = "sup"_{m\ge 1} "sup" E_m$, puoi prima calcolare
$"inf" E_m ="min" E_m = \frac{2}{2m+1}$, $"sup" E_m = "max" E_m = \frac{4m}{2m+1}$, per ogni $m\in\mathbb{Z}^+$.
A questo punto:
$"inf" E = "inf" \{\frac{2}{2m+1}: m\in\mathbb{Z}^+\} = \frac{2}{3} = \min E$,
mentre
$"sup" E = "sup" \{\frac{4m}{2m+1}: m\in\mathbb{Z}^+\} = 2$,
che evidentemente non è raggiunto dal momento che $x<2$ per ogni $x\in E$.
"Rigel":
Io scriverei $E= \cup_{m=1}^{\infty} E_m$, con $E_m = \{\frac{2n}{2m+1}: n=1,\ldots,2m\}$.
Poiché $"inf" E = "inf"_{m\ge 1} "inf" E_m$, e $"sup" E = "sup"_{m\ge 1} "sup" E_m$, puoi prima calcolare
$"inf" E_m ="min" E_m = \frac{2}{2m+1}$, $"sup" E_m = "max" E_m = \frac{4m}{2m+1}$, per ogni $m\in\mathbb{Z}^+$.
A questo punto:
$"inf" E = "inf" \{\frac{2}{2m+1}: m\in\mathbb{Z}^+\} = \frac{2}{3} = \min E$,
mentre
$"sup" E = "sup" \{\frac{4m}{2m+1}: m\in\mathbb{Z}^+\} = 2$,
che evidentemente non è raggiunto dal momento che $x<2$ per ogni $x\in E$.
Quindi c'è lo zampino della sola intuizione di scrivere l'insieme come unione di insiemi?
Mi hai gettato nello sconforto.
Ma no, si fa anche senza scriverlo così.
La successione massimizzante che hai scritto tu va bene.
Il minimo si vede a occhio.
La successione massimizzante che hai scritto tu va bene.
Il minimo si vede a occhio.
Stavo per sparare il classico "non ci sarei mai arrivato"...
Anche questo è corretto (nonostante $1/2$ sia solo un minorante e non l'estremo inferiore) ?
Grazie mille...
"Seneca":
Poiché $p < 2 q$
si ha che per un generico elemento $p/q in E$ : $1/2 < p/q < 2 $ (*)
Anche questo è corretto (nonostante $1/2$ sia solo un minorante e non l'estremo inferiore) ?
Grazie mille...
E' corretto.
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