Esercizio sull'uso del polinomio di taylor
Buonasera a tutti, mi stavo imbattendo in un esercizio di analisi su cui sto trovando notevoli difficoltà:
Premetto che non ho seguito il corso di analisi 1 perchè lavoro percui faccio molta fatica a risolvere gli esercizi
-calcolare cos(1/2) con un errore inferiore a 10^-8
Ragionandoci su ho provato ad utilizzare lo sviluppo di Taylor del coseno sostituendo ad x il valore 1/2 e poi utilizzare il resto di Lagrange ma non riesco a capire come posso imporre la condizione relativa all'errore..se potete consigliarmi ve ne sarei grato. Grazie in anticipo
Premetto che non ho seguito il corso di analisi 1 perchè lavoro percui faccio molta fatica a risolvere gli esercizi
-calcolare cos(1/2) con un errore inferiore a 10^-8
Ragionandoci su ho provato ad utilizzare lo sviluppo di Taylor del coseno sostituendo ad x il valore 1/2 e poi utilizzare il resto di Lagrange ma non riesco a capire come posso imporre la condizione relativa all'errore..se potete consigliarmi ve ne sarei grato. Grazie in anticipo
Risposte
La serie del coseno per valori positivi della variabile è una serie di Leibniz convergente.
Il criterio di Leibniz si porta dietro delle stime del resto che possono essere tranquillamente usate per risolvere l'esercizio: se non le ricordi, puoi trovarle sul Giusti, Analisi Matematica 1, Boringhieri.
Il succo di tali stime è che l'errore commesso approssimando la somma \(S\) di una serie di Leibniz con la somma parziale \(N\)-esima non supera il valore assoluto dell'ultimo addendo che figura nella somma; pertanto se vuoi che l'errore commesso sia minore di una certa soglia prefissata \(\varepsilon >0\), cioé se vuoi che:
\[
\left| S-\sum_{n=0}^N (-1)^n\ a_n\right|<\varepsilon\; ,
\]
ti basta scegliere \(N\) in modo che \(a_N<\varepsilon\).
Il criterio di Leibniz si porta dietro delle stime del resto che possono essere tranquillamente usate per risolvere l'esercizio: se non le ricordi, puoi trovarle sul Giusti, Analisi Matematica 1, Boringhieri.
Il succo di tali stime è che l'errore commesso approssimando la somma \(S\) di una serie di Leibniz con la somma parziale \(N\)-esima non supera il valore assoluto dell'ultimo addendo che figura nella somma; pertanto se vuoi che l'errore commesso sia minore di una certa soglia prefissata \(\varepsilon >0\), cioé se vuoi che:
\[
\left| S-\sum_{n=0}^N (-1)^n\ a_n\right|<\varepsilon\; ,
\]
ti basta scegliere \(N\) in modo che \(a_N<\varepsilon\).
ok perfetto ti ringrazio molto, ho un dubbio che ho riscontrato nella risoluzione di un esercizio simile nel calcolo di log(9/10) utilizzando la definizione per cui Rn+1(il mio resto) sia minore uguale di M*|x^n+1|/(n+1)! devo dunque trovare un numero M che maggiori la mia derivata (k+1)esima. nel caso di e^x e del coseno so già come comportarmi in quanto e^x ha come derivata sempre e comunque e^x che in un intervallo scelto da me so quali valori assume finiti, nel caso del coseno so che esso è sempre minore di 1..ma se io scelgo di sviluppare log(1+x) e arrivo a calcolarmi che la derivata n+1esima è esattamente pari a (-1)^n * n!/(1+x)^n+1 come faccio a trovare un M massimo per questa funzione nel mio intervallo? io ho scelto che la x€(-0.5 , 0) in quanto ho bisogno del log(9/10) e so che la x cade in quell'intervallo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo