Esercizio sull'estremo inferiore dei polinomi
Buongiorno a tutti! Torno a a rompervi presentandovi un nuovo problema che non riesco a risolvere 
Testo:
Sia P un polinomio definito da \(\displaystyle P(x) = x^{2n} + a_{2n-1}x^{2n-1} +\dots + a_1 x +a_{0} \)
Dimostrare che esiste \(\displaystyle x_{*}\in \mathbb{R} \) tale che
\(\displaystyle P(x_*)= \inf \Big\{P(x) : x\in\mathbb{R} \Big\} \)
Inoltre dimostrare che \(\displaystyle |P(x_*)|= \inf \Big\{|P(x)|: x\in\mathbb{R} \Big\} \).
Bene, tralasciamo un'attimo il fatto che sia \(\displaystyle P(x) = x^{2n} + a_{2n-1}x^{2n-1} +\dots + a_1 x +a_{0} \)
con i coefficienti così, semplifichiamo un attimo il problema considerando come \(\displaystyle P(x) \)
\(\displaystyle P(x) = a^n x^n + a^{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 X + a_0 \) (non so se è valida come semplificazione, magari cambia tutto)
In pratica mi si sta chiedendo di dimostrare che l'insieme dei polinomi ha estremo inferiore? Non capisco..
Chiedo (possibilmente) uno spunto per partire!
Testo:
Sia P un polinomio definito da \(\displaystyle P(x) = x^{2n} + a_{2n-1}x^{2n-1} +\dots + a_1 x +a_{0} \)
Dimostrare che esiste \(\displaystyle x_{*}\in \mathbb{R} \) tale che
\(\displaystyle P(x_*)= \inf \Big\{P(x) : x\in\mathbb{R} \Big\} \)
Inoltre dimostrare che \(\displaystyle |P(x_*)|= \inf \Big\{|P(x)|: x\in\mathbb{R} \Big\} \).
Bene, tralasciamo un'attimo il fatto che sia \(\displaystyle P(x) = x^{2n} + a_{2n-1}x^{2n-1} +\dots + a_1 x +a_{0} \)
con i coefficienti così, semplifichiamo un attimo il problema considerando come \(\displaystyle P(x) \)
\(\displaystyle P(x) = a^n x^n + a^{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 X + a_0 \) (non so se è valida come semplificazione, magari cambia tutto)
In pratica mi si sta chiedendo di dimostrare che l'insieme dei polinomi ha estremo inferiore? Non capisco..
Chiedo (possibilmente) uno spunto per partire!
Risposte
La semplificazione che fai tu non è lecita infatti se il polinomio ha grado dispari l'insieme $\{P(x):x\in RR\}$ non è limitato né inferiormente né superiormente. Affinché si abbia o solo la limitazione superiore o solo quella inferiore il polinomio deve avere grado pari (ovviamente se il grado è $0$ è limitato sia superiormente che inferiormente).. l'esponente $2n$ non è una complicazione ma una cosa indispensabile. Poi sul testo è importante anche il fatto che il coefficiente del termine $x^{2n}$ è positivo: in tal caso il polinomio è limitato inferiormente... se tale coefficiente è negativo risulta che il polinomio è limitato superiormente.
be la semplificazione che hai fatto non giusta in quanro quello che ti sottopone il problema è che ha in polinomio del tipo
\begin{align*}
P(x)= x^{2n}+a_{2n-1}x^{2n-1}+...+a_1x+a_0
\end{align*}
che è evidentemente di grado pari, con coefficiente della potenza massima positivo, quindi quando fai il limite agli estremi del campo, ha che
\begin{align*}
\lim_{x\to\pm\infty}= P(x)=+\infty
\end{align*}
quindi per il teorema di Weierstrass sicuramente il polinomio assume un punto di minimo, assoluto, che è quanto ti chiedevano di dimostrare!
@Laura 123, scusami, scrivevo contemporaneamente a te
\begin{align*}
P(x)= x^{2n}+a_{2n-1}x^{2n-1}+...+a_1x+a_0
\end{align*}
che è evidentemente di grado pari, con coefficiente della potenza massima positivo, quindi quando fai il limite agli estremi del campo, ha che
\begin{align*}
\lim_{x\to\pm\infty}= P(x)=+\infty
\end{align*}
quindi per il teorema di Weierstrass sicuramente il polinomio assume un punto di minimo, assoluto, che è quanto ti chiedevano di dimostrare!
@Laura 123, scusami, scrivevo contemporaneamente a te
Grazie ad entrambi. Immaginavo che la mia semplificazione portasse ad un altro risultato!
Quindi per dimostrarlo è sufficiente fare il limite agli estremi che viene giustamente $+\infty$, essendo il grado pari e il coefficiente della variabile di grado massimo positivo.
Poi dovrei applicare il teorema di Weierstrass ma esso non prevede che l'intervallo sia chiuso? Da quanto avevo capito io non si può considerare l'estremo $\infty$ come chiuso..
edit: errore di battitura
Quindi per dimostrarlo è sufficiente fare il limite agli estremi che viene giustamente $+\infty$, essendo il grado pari e il coefficiente della variabile di grado massimo positivo.
Poi dovrei applicare il teorema di Weierstrass ma esso non prevede che l'intervallo sia chiuso? Da quanto avevo capito io non si può considerare l'estremo $\infty$ come chiuso..
edit: errore di battitura
si ma nelle ipotesi in cui $\lim_{x\to\pm\infty}= P(x)=+\infty, $ Weierstrass si può generalizzare ...
scusa ma non capisco come si può generalizzare. ho anche pensato di applicare Rolle ma non mi dice che il punto stazionario è di minimo..
Poichè la funzione
\begin{align*} P(x):= x^{2n}+a_{2n-1}x^{2n-1}+...+a_1x+a_0 \end{align*}
è una funzione continua, consideriamo ad esempio $P(0);$ consideriamo il punto $P(0)+1$ ed usiamolo nella definizione di limite: poichè $P(x)\to +\infty$ per $x\to+\infty,$ avremo che esiste un $k>0$ tale che
\begin{align*} P(x) \ge P(0)+1, \forall x>k \end{align*}
allo stesso modo, poichè $P(x)\to +\infty$ per $x\to-\infty,$ avremo che esiste un $h<0$ tale che
\begin{align*} P(x) \ge P(0)+1, \forall x
consideriamo allora l'intervallo $[h,k]$ dove possiamo applicare il teorema di Weierstrass: esisterà allora un minimo( e un massimo): sia \begin{align*}m=\min\{P(x):h
Dimostriamo allora che tale minimo $m$ è il minimo in tutto l'asse reale $\RR,$ dobbiamo cioè verificare che $P(x)>m$ per ogni valore di $x\in \RR;$ si posso presentare tre casi:
[1.]
se $x\in[h,k]$ allora $P(x)\ge m$ piochè $m$ è il minimo in $[h,k];$
[2.]
se $x>k$ allora
\begin{align*} P(x) \ge P(0)+1>P(0)\ge m, \end{align*}
infatti
$ P(x) \ge P(0)+1$ è vera per la scelta di $k;$
$P(0)+1>P(0)$ è vera banalmente;
$P(0)\ge m$ perchè $0\in [h,k]$ e qui vale Weirstrass e quindi tutti i valori son $\ge m.$
[3.]
se $x
si procede come in [2.]
e dunque $m$ è il minimo in tutto $\RR.$
\begin{align*} P(x):= x^{2n}+a_{2n-1}x^{2n-1}+...+a_1x+a_0 \end{align*}
è una funzione continua, consideriamo ad esempio $P(0);$ consideriamo il punto $P(0)+1$ ed usiamolo nella definizione di limite: poichè $P(x)\to +\infty$ per $x\to+\infty,$ avremo che esiste un $k>0$ tale che
\begin{align*} P(x) \ge P(0)+1, \forall x>k \end{align*}
allo stesso modo, poichè $P(x)\to +\infty$ per $x\to-\infty,$ avremo che esiste un $h<0$ tale che
\begin{align*} P(x) \ge P(0)+1, \forall x
consideriamo allora l'intervallo $[h,k]$ dove possiamo applicare il teorema di Weierstrass: esisterà allora un minimo( e un massimo): sia \begin{align*}m=\min\{P(x):h
Dimostriamo allora che tale minimo $m$ è il minimo in tutto l'asse reale $\RR,$ dobbiamo cioè verificare che $P(x)>m$ per ogni valore di $x\in \RR;$ si posso presentare tre casi:
[1.]
se $x\in[h,k]$ allora $P(x)\ge m$ piochè $m$ è il minimo in $[h,k];$
[2.]
se $x>k$ allora
\begin{align*} P(x) \ge P(0)+1>P(0)\ge m, \end{align*}
infatti
$ P(x) \ge P(0)+1$ è vera per la scelta di $k;$
$P(0)+1>P(0)$ è vera banalmente;
$P(0)\ge m$ perchè $0\in [h,k]$ e qui vale Weirstrass e quindi tutti i valori son $\ge m.$
[3.]
se $x
si procede come in [2.]
e dunque $m$ è il minimo in tutto $\RR.$
Grazie di avermi dedicato il tuo tempo.
Per il secondo risultato invece..
E' sufficiente tener presente che $|P(x)| \geq P(x)$
e anche $|P(x_m)| = |m| \geq m = P(x_m)$ ?
Per il secondo risultato invece..
E' sufficiente tener presente che $|P(x)| \geq P(x)$
e anche $|P(x_m)| = |m| \geq m = P(x_m)$ ?
Ho provato a dimostrarlo per assurdo dividendo per casi..
\(\displaystyle |P(x_m)| < \inf _{x \in \mathbb{R}} |P(x)| \) non può essere per definizione
\(\displaystyle |P(x_m)| > \inf_{x \in \mathbb{R}} |P(x)| \) non può essere poiché... ??
In pratica il tutto si riduce al dimostrare che
\(\displaystyle \inf_{x \in \mathbb{R}} |P(x)| = | \inf_{x \in \mathbb{R}} P(x) | \)
Qualche idea?
\(\displaystyle |P(x_m)| < \inf _{x \in \mathbb{R}} |P(x)| \) non può essere per definizione
\(\displaystyle |P(x_m)| > \inf_{x \in \mathbb{R}} |P(x)| \) non può essere poiché... ??
In pratica il tutto si riduce al dimostrare che
\(\displaystyle \inf_{x \in \mathbb{R}} |P(x)| = | \inf_{x \in \mathbb{R}} P(x) | \)
Qualche idea?
"joined":
Sia P un polinomio definito da \(\displaystyle P(x) = x^{2n} + a_{2n-1}x^{2n-1} +\dots + a_1 x +a_{0} \)
Dimostrare che esiste \(\displaystyle x_{*}\in \mathbb{R} \) tale che
\(\displaystyle P(x_*)= \inf \Big\{P(x) : x\in\mathbb{R} \Big\} \)
Inoltre dimostrare che \(\displaystyle |P(x_*)|= \inf \Big\{|P(x)|: x\in\mathbb{R} \Big\} \).
Quest'ultima affermazione è in generale falsa.
Prendi \(P(x) = x^2 - 1\); chiaramente \(x_{*} = 0\) e \(P(x_*) = -1\). Tuttavia
\[
|P(x_{*})| = 1 \neq \inf\{|P(x)|\} = 0.
\]
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