Esercizio sulle Trasformate di Fourier
Chi mi sa aiutare con questo tipo di esercizio?
Dire quali delle seguenti funzioni ammette trasformata di Fourier specificandone il motivo.
1) \[\int_{-\infty}^{+\infty}e^{(x-y)^{2}}e^{-y}dy\]
2) \[\int_{-\infty}^{+\infty}e^{(x-y)^{2}}e^{-|y|}dy\]
3) f(x) = sin (x)
4) f (x) = $1/(1+x^2)$
Dire quali delle seguenti funzioni ammette trasformata di Fourier specificandone il motivo.
1) \[\int_{-\infty}^{+\infty}e^{(x-y)^{2}}e^{-y}dy\]
2) \[\int_{-\infty}^{+\infty}e^{(x-y)^{2}}e^{-|y|}dy\]
3) f(x) = sin (x)
4) f (x) = $1/(1+x^2)$
Risposte
Secondo me dovrebbe esistere solo l'1) e il 4) ma non saprei con certezza e non so argomentare...
L'1) è una convoluzione di due funzioni, così come la 2), solo che l'1) diverge mentre la 2) no, essendo limitata......
Del 3) posso dire che è una funzione oscillante e non appartiene a L^1 e dunque non esiste la trasformata.
qualche aiuto o definizione più precisa ?
L'1) è una convoluzione di due funzioni, così come la 2), solo che l'1) diverge mentre la 2) no, essendo limitata......
Del 3) posso dire che è una funzione oscillante e non appartiene a L^1 e dunque non esiste la trasformata.
qualche aiuto o definizione più precisa ?
nessuno sa aiutarmi ?
Guarda bene... Ti pare che gli integrali 1 e 2 esistano finiti per ogni \(x\)?
forse l'1) solamente...
"Snapshot83":
forse l'1) solamente...
Ma anche no...
La funzione integranda è \(e^{y^2-(1+2x)y+x^2}\) che è asintoticamente equivalente a \(e^{y^2}\) per \(y\to \pm \infty\): quindi come potrebbe esistere finito quell'integrale per qualsiasi \(x\)?
Lo stesso dicasi dell'integrale 2.
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