Esercizio sulle successioni di funzioni

[ApoInge]

Sia $f_n:[0,+\infty)\to \R$ definita da $f_n(x)=nx^{(1+n)/n}-nx$. Sia $f$ il limite puntuale di $f_n$, ove definito.
Mi chiede di verificare se sono vere queste affermazioni:
1) $f'_n$ converge puntualmente a $f'$ ovunque $f'$ è definita.
2) $f$ è derivabile ovunque è definita.

Ho provato a risolverla.
$\lim_{n \to \infty} f_n= \lim_{n} nx^{(1+n)/n}-nx=0$ allora $f_n$ converge puntualmente su tutto $[0,+\infty)$ a $0$.
Adesso:
$f'_n = (1+n) x^{1/n}-n$. Allora:
$\lim_{n \to \infty} f'_n= \lim_{n} (1+n) x^{1/n}-n = 1$ allora $f'_n$ converge puntualmente su tutto $(0,+\infty)$ a $1$.

Mi risulta che è vero che $f'_n$ converge puntualmente a $f'$ ovunque $f'$ è definita. E a me risulta vero anche che $f=0$ è derivabile ovunque è definito. Solo che quest'ultima affermazione è falsa, perché?
Grazie, ciao Alberto

[Lele0012]

Come mai ti trovi...
$lim_n f_n(x)=0$ ?

Facendo i calcoli, mi trovo un risultato piuttosto diverso:

$lim_n nx^((1+n)/n)-nx = lim_n nx(x^(1/n)-1)= lim_n nx(e^(logx/n)-1) $

Moltiplicando e dividendo per $logx/n$,

$ lim_n xlogx (e^(logx/n)-1)/(logx/n) $

posto $logx/n=z$, osserverai che, per n tendente ad infinito, z tende a zero, perciò ottieni il limite notevole:

$lim (e^z-1)/z=1$

Perciò mi trovo:

$ lim_n xlogx (e^(logx/n)-1)/(logx/n) = xlogx $

Tu come hai ragionato?