Esercizio sulle singolarità di una funzione
Buongiorno a tutti.
Sto affrontando un esercizio sulla ricerca e classificazione delle singolarità di una funzione.
Il mio problema è che ad un certo punto mi blocco e non so andare avanti. Non riesco a capire che singolarità siano!
Ecco quel che faccio.
La funzione è:
Quindi le singolarità le ricerco tra gli zeri del denominatore:
è come se avessi:
E dunque:
Facendo il limite trovo:
e dunque so per certo che la singolarità non è eliminabile.
Ora devo classificare le infinite singolarità.
Io mi blocco qui.
Non riesco ad andare avanti.
Mi potreste aiutare? Grazie
Sto affrontando un esercizio sulla ricerca e classificazione delle singolarità di una funzione.
Il mio problema è che ad un certo punto mi blocco e non so andare avanti. Non riesco a capire che singolarità siano!
Ecco quel che faccio.
La funzione è:
Quindi le singolarità le ricerco tra gli zeri del denominatore:
è come se avessi:
E dunque:
Facendo il limite trovo:
e dunque so per certo che la singolarità non è eliminabile.
Ora devo classificare le infinite singolarità.
Io mi blocco qui.
Non riesco ad andare avanti.
Mi potreste aiutare? Grazie
Risposte
Chiaramente il denominatore è nullo in corrispondenza di \(z_n=\frac{1}{2n\pi}\) con \(n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}\), e tali zeri, che sono isolati, non essendo compensati da zeri del denominatore risultano poli della funzione \(f(z)\).
D'altra parte, si ha:
\[
\begin{split}
\left. \frac{\text{d}}{\text{d} z} \left[ 1-\cos \frac{1}{z}\right]\right|_{z=z_n} &= \left. -\frac{1}{z^2}\ \sin \frac{1}{z}\right|_{z=z_n}\\
&= 0\\
\left. \frac{\text{d}^2}{\text{d} z^2} \left[ 1-\cos \frac{1}{z}\right]\right|_{z=z_n} &= \left. \frac{2}{z^3}\ \sin \frac{1}{z} + \frac{1}{z^4}\ \cos \frac{1}{z}\right|_{z=z_n}\\
&=16n^4\pi^4\neq 0\; .
\end{split}
\]
dunque gli zeri isolati di \(1-\cos \frac{1}{z}\) sono zeri del secondo ordine; dato che essi non sono compensati da zeri del numeratore, la funzione \(f(z)\) ha in ogni \(z_n\) un polo del secondo ordine.
Inoltre, ci sono anche una singolarità in \(z=0\) ed in \(z=\infty\).
La singolarità in \(0\) non è isolata, perché \(0\) è di accumulazione per l'insieme \(\{z_n, n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}\}\), dunque essa non è classificabile.
Infine, la singolarità all'infinito è anch'essa un polo: infatti, essa è una singolarità isolata e si ha:
\[
\lim_{z\to \infty} \frac{1}{1-\cos \frac{1}{z}} \stackrel{\zeta = 1/z}{=} \lim_{\zeta \to 0} \frac{1}{1-\cos \zeta} = \infty\; .
\]
Tale polo è del secondo ordine, poiché la funzione ausiliaria \(g(\zeta) := f(1/\zeta) = \frac{1}{1-\cos \zeta}\) ha in \(\zeta =0\) un polo del secondo ordine.
D'altra parte, si ha:
\[
\begin{split}
\left. \frac{\text{d}}{\text{d} z} \left[ 1-\cos \frac{1}{z}\right]\right|_{z=z_n} &= \left. -\frac{1}{z^2}\ \sin \frac{1}{z}\right|_{z=z_n}\\
&= 0\\
\left. \frac{\text{d}^2}{\text{d} z^2} \left[ 1-\cos \frac{1}{z}\right]\right|_{z=z_n} &= \left. \frac{2}{z^3}\ \sin \frac{1}{z} + \frac{1}{z^4}\ \cos \frac{1}{z}\right|_{z=z_n}\\
&=16n^4\pi^4\neq 0\; .
\end{split}
\]
dunque gli zeri isolati di \(1-\cos \frac{1}{z}\) sono zeri del secondo ordine; dato che essi non sono compensati da zeri del numeratore, la funzione \(f(z)\) ha in ogni \(z_n\) un polo del secondo ordine.
Inoltre, ci sono anche una singolarità in \(z=0\) ed in \(z=\infty\).
La singolarità in \(0\) non è isolata, perché \(0\) è di accumulazione per l'insieme \(\{z_n, n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}\}\), dunque essa non è classificabile.
Infine, la singolarità all'infinito è anch'essa un polo: infatti, essa è una singolarità isolata e si ha:
\[
\lim_{z\to \infty} \frac{1}{1-\cos \frac{1}{z}} \stackrel{\zeta = 1/z}{=} \lim_{\zeta \to 0} \frac{1}{1-\cos \zeta} = \infty\; .
\]
Tale polo è del secondo ordine, poiché la funzione ausiliaria \(g(\zeta) := f(1/\zeta) = \frac{1}{1-\cos \zeta}\) ha in \(\zeta =0\) un polo del secondo ordine.
"gugo82":
Chiaramente il denominatore è nullo in corrispondenza di \(z_n=\frac{1}{2n\pi}\) con \(n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}\), e tali zeri, che sono isolati, non essendo compensati da zeri del denominatore risultano poli della funzione \(f(z)\).
D'altra parte, si ha:
\[
\begin{split}
\left. \frac{\text{d}}{\text{d} z} \left[ 1-\cos \frac{1}{z}\right]\right|_{z=z_n} &= \left. -\frac{1}{z^2}\ \sin \frac{1}{z}\right|_{z=z_n}\\
&= 0\\
\left. \frac{\text{d}^2}{\text{d} z^2} \left[ 1-\cos \frac{1}{z}\right]\right|_{z=z_n} &= \left. \frac{2}{z^3}\ \sin \frac{1}{z} + \frac{1}{z^4}\ \cos \frac{1}{z}\right|_{z=z_n}\\
&=16n^4\pi^4\neq 0\; .
\end{split}
\]
dunque gli zeri isolati di \(1-\cos \frac{1}{z}\) sono zeri del secondo ordine; dato che essi non sono compensati da zeri del numeratore, la funzione \(f(z)\) ha in ogni \(z_n\) un polo del secondo ordine.
Inoltre, ci sono anche una singolarità in \(z=0\) ed in \(z=\infty\).
La singolarità in \(0\) non è isolata, perché \(0\) è di accumulazione per l'insieme \(\{z_n, n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}\}\), dunque essa non è classificabile.
Infine, la singolarità all'infinito è anch'essa un polo: infatti, essa è una singolarità isolata e si ha:
\[
\lim_{z\to \infty} \frac{1}{1-\cos \frac{1}{z}} \stackrel{\zeta = 1/z}{=} \lim_{\zeta \to 0} \frac{1}{1-\cos \zeta} = \infty\; .
\]
Tale polo è del secondo ordine, poiché la funzione ausiliaria \(g(\zeta) := f(1/\zeta) = \frac{1}{1-\cos \zeta}\) ha in \(\zeta =0\) un polo del secondo ordine.
Ok grazie. Avevo capito anche io che lo zero non era isolato
Una domanda: il fatto dello studio della derivata del denominatore mi conviene farlo sempre quando ho un denominatore polinomiale per sapere il grado del polo?
Scusa l'ignoranza. Ma come dico che le infinite singolarità sono polo e non sono essenziali? È perché il limite per z-->zk esiste?
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