Esercizio sulle singolarità complesse
Ciao 
Volevo chiedervi conferma circa lo svolgimento di un esercizio di cui non ho la soluzione.
L'esercizio è il seguente:
Classificare le singolarità isolate, su $\mathbbC uu oo $, di $\f(z)=z(cos(1/z)-zsin(1/z))/sinh(1/z)$.
Le singolarità di $\f$ sono $\z=0$ e gli zeri di $\sinh(1/z)$, cioè $z_k=-i/(kpi)$, $\k \in mathbb Z -{0}$.
Ora, come si vede sopra, $\z=0$ non è isolata, dato che ogni suo intorno contiene altre singolarità di $\f$ (gli $\z_k$), mentre gli $\z_k$ sono isolati e risultano poli semplici.
Per quanto riguarda $\ z=oo$, con il cambio di variabile $\f(1/z)=g(w)=(wcosw-senw)/(w^2sinhw)$, e andando a studiare il comportamento di $\g(w)$ in $\w=0$, si ha che $\w=0$ risulta essere zero di ordine due per il denominatore, mentre è di ordine 1 per il numeratore, quindi in conclusione $\z= oo$ è un polo di ordine 1 per $\f$.
E' corretto?
Grazie mille
Volevo chiedervi conferma circa lo svolgimento di un esercizio di cui non ho la soluzione.
L'esercizio è il seguente:
Classificare le singolarità isolate, su $\mathbbC uu oo $, di $\f(z)=z(cos(1/z)-zsin(1/z))/sinh(1/z)$.
Le singolarità di $\f$ sono $\z=0$ e gli zeri di $\sinh(1/z)$, cioè $z_k=-i/(kpi)$, $\k \in mathbb Z -{0}$.
Ora, come si vede sopra, $\z=0$ non è isolata, dato che ogni suo intorno contiene altre singolarità di $\f$ (gli $\z_k$), mentre gli $\z_k$ sono isolati e risultano poli semplici.
Per quanto riguarda $\ z=oo$, con il cambio di variabile $\f(1/z)=g(w)=(wcosw-senw)/(w^2sinhw)$, e andando a studiare il comportamento di $\g(w)$ in $\w=0$, si ha che $\w=0$ risulta essere zero di ordine due per il denominatore, mentre è di ordine 1 per il numeratore, quindi in conclusione $\z= oo$ è un polo di ordine 1 per $\f$.
E' corretto?
Grazie mille
Risposte
Nessuno? 
Lo prendo come un "Sì, è corretto"? In effetti, mi sarei aspettata più accorate manifestazioni di dissenso se fosse stato sbagliato.
Lo prendo come un "Sì, è corretto"? In effetti, mi sarei aspettata più accorate manifestazioni di dissenso se fosse stato sbagliato.
Scusate gente,
ma domani ho l'esame e sono parecchio preoccupata, quindi proverò a tirarlo su un'ultimissima volta, abusando, un pochino della vostra pazienza
ma domani ho l'esame e sono parecchio preoccupata, quindi proverò a tirarlo su un'ultimissima volta, abusando, un pochino della vostra pazienza
Ciao Chiara!
Provo a risponderti io:
-Dominio di definizione
$ {(z!=0),(\sinh(z)!=0):} $ \(\Rightarrow\) $ A={z!=1/(ikpi),k \in \mathbb{Z}:} $
Quindi si ha che \(f:\mathbb{C}\cap A \to \mathbb{C}\) è olomorfa.
Studio il comportamento di \(f(z)\) sulla frontiera del dominio di olomorfia:
-Comportamento di f intorno a \(z=\infty\)
Cambio di variabile: \(z=1/w\)
Studio \(g(w):=f(1/w)\) in \(w=0\):
\[\lim_{w \to 0}\left |g(w)\right |=1/3\] \(\Rightarrow\) \(f(z)\) ha una singolarità eliminabile in \(z=\infty\)
In questo caso, ho ottenuto il risultato applicando 3 volte la Regola di de l'Hopital (forma indeterminata \(0/0\))
-Comportamento di f intorno a \(z=0\)
si tratta di una singolarità non isolata, quindi non rientra nella classificazione
-Comportamento di f intorno a \(z=\frac{1}{ik\pi},k\ne 0\)
\[\lim_{z \to \frac{1}{ik\pi}}\left |f(z)\right |=\infty\] \(\Rightarrow\) \(f(z)\) ha una singolarità di tipo polo in \(z=\frac{1}{ik\pi},k\ne 0\).
Si tratta di un polo semplice poiché esso è anche uno zero di molteplicità 1 del denominatore.
Provo a risponderti io:
-Dominio di definizione
$ {(z!=0),(\sinh(z)!=0):} $ \(\Rightarrow\) $ A={z!=1/(ikpi),k \in \mathbb{Z}:} $
Quindi si ha che \(f:\mathbb{C}\cap A \to \mathbb{C}\) è olomorfa.
Studio il comportamento di \(f(z)\) sulla frontiera del dominio di olomorfia:
-Comportamento di f intorno a \(z=\infty\)
Cambio di variabile: \(z=1/w\)
Studio \(g(w):=f(1/w)\) in \(w=0\):
\[\lim_{w \to 0}\left |g(w)\right |=1/3\] \(\Rightarrow\) \(f(z)\) ha una singolarità eliminabile in \(z=\infty\)
In questo caso, ho ottenuto il risultato applicando 3 volte la Regola di de l'Hopital (forma indeterminata \(0/0\))
-Comportamento di f intorno a \(z=0\)
si tratta di una singolarità non isolata, quindi non rientra nella classificazione
-Comportamento di f intorno a \(z=\frac{1}{ik\pi},k\ne 0\)
\[\lim_{z \to \frac{1}{ik\pi}}\left |f(z)\right |=\infty\] \(\Rightarrow\) \(f(z)\) ha una singolarità di tipo polo in \(z=\frac{1}{ik\pi},k\ne 0\).
Si tratta di un polo semplice poiché esso è anche uno zero di molteplicità 1 del denominatore.
Ciao 
Grazie mille dell'attenzione . Ma secondo te cosa c'è di sbagliato nella mia analisi per $\z= oo$?
E' sbagliato dire che $\w=0$ è zero di ordine 1 per il numeratore? Io ho pensato che siccome $\sin w$ è olomorfa, e $\w=0$ è zero semplice per lei, allora posso scrivere attorno a $\w=0$, $\sinw=w*h(w)$ con $\h(w)$ olomorfa e non nulla in zero. A questo punto raccolgo w al numeratore e semplifico con quello del denominatore. Cosa c'è che non va? Non capisco
Grazie mille dell'attenzione
. Ma secondo te cosa c'è di sbagliato nella mia analisi per $\z= oo$?E' sbagliato dire che $\w=0$ è zero di ordine 1 per il numeratore? Io ho pensato che siccome $\sin w$ è olomorfa, e $\w=0$ è zero semplice per lei, allora posso scrivere attorno a $\w=0$, $\sinw=w*h(w)$ con $\h(w)$ olomorfa e non nulla in zero. A questo punto raccolgo w al numeratore e semplifico con quello del denominatore. Cosa c'è che non va? Non capisco
Spero che il sonno non mi stia annebbiando la mente. Ad ogni modo possiamo vedere la nostra funzione come prodotto di numeratore e reciproco del denominatore. A questo punto si vede subito che 0 è un Polo di ordine 3 per entrambe le funzioni fattori. Non posso quindi fare quel tuo discorso per concludere direttamente. Bisogna andare a sporcarsi le mani svolgendo direttamente il limite nella singolarità
Ah ok avati, grazie mille, sei stato molto gentile
Alla prossima
Alla prossima
In bocca al lupo per entrambi!! 
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