Esercizio sulle serie numeriche
Salve qualcuno può aiutarmi con questa serie?? Devo studiare la convergenza della medesima al variare del parametro α:
\[ \sum_{n\ge 1} [ \ln(n^α + n) - \ln(n^α +1) ]\]..
Grazie in anticipo
\[ \sum_{n\ge 1} [ \ln(n^α + n) - \ln(n^α +1) ]\]..
Grazie in anticipo
Risposte
Potresti cominciare con l'usare qualche proprietà dei logaritmi... Mostra i conti che svolgi/hai svolto.
Io avevo portato tutto come frazione e quindi an= ln((n^alfa +n)/(n^alfa+1))..mi era venuto in mente di sviluppare tramite Maclaurin il secondo logaritmo poiché infinitesimo ma non sono giunto a conclusioni particolare!
Anzitutto puoi osservare senza ulteriori artifici che per $\alpha \in (-\infty,1]$ la serie è divergente, infatti non sussiste la condizione necessaria ($a_n$ non è infinitesimo).
Per $\alpha > 1$ hai che $a_n$ è infinitesimo di ordine $\alpha - 1$; infatti
\[ \ln \frac{n^\alpha +1 + (n - 1)}{n^{\alpha}+1} = \ln \left ( 1 + \frac{n - 1}{n^{\alpha}+1} \right ) \; .\]
A meno di mie sviste.
Per $\alpha > 1$ hai che $a_n$ è infinitesimo di ordine $\alpha - 1$; infatti
\[ \ln \frac{n^\alpha +1 + (n - 1)}{n^{\alpha}+1} = \ln \left ( 1 + \frac{n - 1}{n^{\alpha}+1} \right ) \; .\]
A meno di mie sviste.
Grazie mille non avevo pensato ad aggiungere e sottrarre 1, mossa geniale! Grazie ancora 
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