Esercizio sulle serie di potenze
$sumx^n*n^x$ Il testo dice di trovare l'insieme di convergenza puntuale e uniforme. Prima diceva di studiare la successione semplice ed ho trovato che converge uniformemente nell'intervallo $|x|<1$ (non so se serve per le serie ma non credo). Ora questa è una serie di potenze, dove ho un termine alla $n$ che è la mia potenza ed una successione $a_n$. Tramite il criterio del rapporto o della radice devo trovare il raggio di convergenza ma mi viene 1. Il criterio non è dunque valido, cosa devo fare? $a_(n+1)/a_n=((n+1)/n)^x=e^(x/n)->1$ Grazie
Risposte
Aspetta, aspetta, aspetta... Perché il raggio di convergenza non potrebbe essere \(\displaystyle 1 \)?
Il criterio di Cauchy-Hadamard prevede che \(\displaystyle R \in [0,\infty) \) (eventualmente anche \(\displaystyle \infty \)), quindi...
Il criterio di Cauchy-Hadamard prevede che \(\displaystyle R \in [0,\infty) \) (eventualmente anche \(\displaystyle \infty \)), quindi...
perche se viene 1 con il criterio del rapporto o della radice non posso dire nulla sulla sua convergenza..sbaglio?
Non puoi dire nulla sulla convergenza o meno.
Ma qui stai calcolando il raggio di convergenza.
Ma qui stai calcolando il raggio di convergenza.
Scusate, ma di che cosa state parlando???
Quella roba lì non è (riconducibile a) una serie di potenze, quindi che raggio di convergenza cercate?
Quella roba lì non è (riconducibile a) una serie di potenze, quindi che raggio di convergenza cercate?
ah ok ti ringrazio, ti chiedo un'ultima cosa. Quindi concludo che converge puntualmente in $[-1,+1)$ (Gli estremi li ho studiati separatamente), ed uniformemente per il criterio di abel in $[-1,+1)$ oppure in $[-1+\delta,+1-\delta)$?
Ho preso un abbaglio?
Non sto capendo, ma questa è una serie di potenze? Dovrebbe esserlo perche è del tipo $a_n*x^n$
Non è una serie di potenze. La forma di un serie di potenze è
\[
\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^{n}
\]
la tua è diversa...
\[
\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^{n}
\]
la tua è diversa...
Nle mio caso $x_0=0$ è infatti centrata in $0$
Guarda che $a_n$ deve essere un numero (funzione di $n$), non una funzione di $x$.
- Sì, ho preso un abbaglio (e anche grosso) -
Scusate l'ulteriore intromissione.
Scusate l'ulteriore intromissione.
Col criterio della radice si trova che la serie \(\sum f_n(x)\), ove \(f_n(x):=n^x\ x^n\), converge se:
\[
\lim_n \sqrt[n]{|f_n(x)|} <1
\]
e diverge se:
\[
\lim_n \sqrt[n]{|f_n(x)|} >1\; .
\]
Si vede che per \(x=0\) la serie converge; se \(x\neq 0\) calcolando si ha:
\[
\lim_n \sqrt[n]{|f_n(x)|} =\lim_n (\sqrt[n]{n})^x\ |x|=1^x\ |x|=|x|
\]
quindi la serie converge sicuramente se \(|x|<1\) e diverge sicuramente se \(|x|>1\).
D'altra parte si vede che quando \(x= 1\) la serie numerica \(\sum f_n(1)\) non converge, mentre per \(x=-1\) la serie numerica \(\sum f_n(-1)\) (che è la serie armonica alternata) converge.
Conseguentemente l'insieme di convergenza della serie è \([-1,1[\).
Per quanto riguarda la convergenza uniforme/totale, non puoi usare il teorema di Abal, perché come detto sopra la tua non è una serie di potenze.
Devi fare perciò i conticini a mano e determinare il \(\sup_{[-1,1[} |f_n(x)|=:M_n\) e vedere se la serie \(\sum M_n\) converge; in tal modo acchiappi la convergenza totale in \([-1,1[\).
Altrimenti, consideri un \(\varepsilon\geq 0, \delta >0\) e vai a determinare \(\max_{[-1+\varepsilon ,1-\delta]} |f_n(x)|=:M_n(\varepsilon, \delta)\) e ti vai a studiare la convergenza della serie \(\sum M_n(\varepsilon ,\delta)\), in modo da acchiappare la convergenza totale in \([-1+\varepsilon ,1-\delta]\).
\[
\lim_n \sqrt[n]{|f_n(x)|} <1
\]
e diverge se:
\[
\lim_n \sqrt[n]{|f_n(x)|} >1\; .
\]
Si vede che per \(x=0\) la serie converge; se \(x\neq 0\) calcolando si ha:
\[
\lim_n \sqrt[n]{|f_n(x)|} =\lim_n (\sqrt[n]{n})^x\ |x|=1^x\ |x|=|x|
\]
quindi la serie converge sicuramente se \(|x|<1\) e diverge sicuramente se \(|x|>1\).
D'altra parte si vede che quando \(x= 1\) la serie numerica \(\sum f_n(1)\) non converge, mentre per \(x=-1\) la serie numerica \(\sum f_n(-1)\) (che è la serie armonica alternata) converge.
Conseguentemente l'insieme di convergenza della serie è \([-1,1[\).
Per quanto riguarda la convergenza uniforme/totale, non puoi usare il teorema di Abal, perché come detto sopra la tua non è una serie di potenze.
Devi fare perciò i conticini a mano e determinare il \(\sup_{[-1,1[} |f_n(x)|=:M_n\) e vedere se la serie \(\sum M_n\) converge; in tal modo acchiappi la convergenza totale in \([-1,1[\).
Altrimenti, consideri un \(\varepsilon\geq 0, \delta >0\) e vai a determinare \(\max_{[-1+\varepsilon ,1-\delta]} |f_n(x)|=:M_n(\varepsilon, \delta)\) e ti vai a studiare la convergenza della serie \(\sum M_n(\varepsilon ,\delta)\), in modo da acchiappare la convergenza totale in \([-1+\varepsilon ,1-\delta]\).
Ok perfetto ringrazio tutti per le risposte, ho preso un abbaglio pure io direi! Allora una domanda che non centra con l'esercizio. Ma se ho una serie di potenze e trovo l'intervallo di convergenza puntiale per esempio in un aperto $(-l,+l)$ per Abel posso dire che converge uniformemente nello stesso intervallo o devo scrivere in quest'altro intervallo$(-l+\epsilon,+l-\epsilon)$?
In generale, una s.d.p. converge uniformemente sui compatti contenuti all'interno dell'intervallo di convergenza.
Quindi, se la tua serie converge in \((-l,l)\) (non sai se estremi inclusi o no), allora la convergenza è uniforme in particolare in ogni \([a,b]\subseteq ]-l,l[\).
D'altra parte, se sai che la tua s.d.p. converge anche in un estremo, diciamo in \(l\) sicché il tuo intervallo di convergenza diventa \((-l,l]\) (non sai se \(-l\) è incluso o no), allora il teorema di Abel ti assicura che la tua serie converge uniformemente in ogni \([a,b]\subset ]-l,l]\); in altre parole, puoi prendere anche compatti che hanno l'estremo superiore \(=l\).
Quindi, se la tua serie converge in \((-l,l)\) (non sai se estremi inclusi o no), allora la convergenza è uniforme in particolare in ogni \([a,b]\subseteq ]-l,l[\).
D'altra parte, se sai che la tua s.d.p. converge anche in un estremo, diciamo in \(l\) sicché il tuo intervallo di convergenza diventa \((-l,l]\) (non sai se \(-l\) è incluso o no), allora il teorema di Abel ti assicura che la tua serie converge uniformemente in ogni \([a,b]\subset ]-l,l]\); in altre parole, puoi prendere anche compatti che hanno l'estremo superiore \(=l\).
in conclusione nelle serie di potenze dove c'è convergenza puntuale c'è quindi sempre convergenza uniforme giusto?
Ma $a_n$ dipende da $x$!
@ciampax: L'avevamo già notato che quella non è una s.d.p.
E dopo fra01 aveva chiesto:
Come vedi si era saltato di palo in frasca...
E dopo fra01 aveva chiesto:
"fra01":
Allora una domanda che non c'entra con l'esercizio. Ma se ho una serie di potenze e trovo l'intervallo di convergenza puntiale per esempio in un aperto $(-l,+l)$ per Abel posso dire che converge uniformemente nello stesso intervallo o devo scrivere in quest'altro intervallo$(-l+\epsilon,+l-\epsilon)$?
Come vedi si era saltato di palo in frasca...
@Gugo: oppppssss, m'ero perso la seconda pagina!
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