Esercizio sulle serie di potenze
Si consideri la serie: $sum_(n=1)^oo (n+1)/2^n x^n$
a) Determinare l'Intervallo di convergenza e discutere il tipo di convergenza della serie
b) Integrare la serie "termine a termine" e Calcolare la Somma della serie ottenuta
c) dedurre, dal punto precedente , la somma della serie di partenza
Mio tentativo di risoluzione
a) Criterio della radice: $ l=lim_n ((n+1)/2^n)^(1/n) =1/2 $
$R=1/l=2$
Intervallo di convergenza: $I=(-2,2)$
Sia in $x=-2$ che in $x=2$ la serie non converge
Tipi di convergenza:
1. Convergenza totale $AA x in[a,b]sub (-2,2)$
2. convergenza assoluta in $(-2,2)$
3. convergenza puntuale nello stesso intervallo
b)Qui non mi è chiaro se con "integrazione termine a termine" si intenda:
- trovare la serie delle primitive , definite a meno di una costante
$int sum_(n=0)^oo a_n (x-x_0)^n dx = sum_(n=0)^oo a_n/(n+1) (x-x_0)^(n+1)+c$
oppure bisogna calcolare la serie dell'integrale definito delle funzioni $f_n(x)$ in un intervallo [a,b] contenuto nell'intervallo di convergenza
$int_(a)^(b) sum_(n=0)^oo a_n (x-x_0)^n dx = sum_(n=0)^oo int_(a)^(b) a_n (x-x_0)^n dx$
Personalmente, ho optato per questo secondo caso:
$ int_(a)^(b) (n+1)/2^n x^n dx = (n+1)/2^n int_(a)^(b)x^n dx = (n+1)/2^n [x^(n+1)/(n+1)]_[a,b]=1/2^n[x^(n+1)]_(a,b) = (b^(n+1)-a^(n+1))/2^n $
quindi si ha che:
$int_([a,b]sub(-2,2)) sum_(n=1) (n+1)/2^n x^n dx= sum_(n=1) (b^(n+1)-a^(n+1))/2^n$
Problema1: come facciamo a trovare la somma di questa serie?
Problema2: e come faccio a trovare la somma della serie di partenza a partire da questa?
*suppongo che , siccome la serie di potenze converge totalmente in [a,b]--> io possa calcolare la $f(x)$ della serie di partenza "derivando rispetto ad x" la $f(x)$ := somma della serie degli integrali
a) Determinare l'Intervallo di convergenza e discutere il tipo di convergenza della serie
b) Integrare la serie "termine a termine" e Calcolare la Somma della serie ottenuta
c) dedurre, dal punto precedente , la somma della serie di partenza
Mio tentativo di risoluzione
a) Criterio della radice: $ l=lim_n ((n+1)/2^n)^(1/n) =1/2 $
$R=1/l=2$
Intervallo di convergenza: $I=(-2,2)$
Sia in $x=-2$ che in $x=2$ la serie non converge
Tipi di convergenza:
1. Convergenza totale $AA x in[a,b]sub (-2,2)$
2. convergenza assoluta in $(-2,2)$
3. convergenza puntuale nello stesso intervallo
b)Qui non mi è chiaro se con "integrazione termine a termine" si intenda:
- trovare la serie delle primitive , definite a meno di una costante
$int sum_(n=0)^oo a_n (x-x_0)^n dx = sum_(n=0)^oo a_n/(n+1) (x-x_0)^(n+1)+c$
oppure bisogna calcolare la serie dell'integrale definito delle funzioni $f_n(x)$ in un intervallo [a,b] contenuto nell'intervallo di convergenza
$int_(a)^(b) sum_(n=0)^oo a_n (x-x_0)^n dx = sum_(n=0)^oo int_(a)^(b) a_n (x-x_0)^n dx$
Personalmente, ho optato per questo secondo caso:
$ int_(a)^(b) (n+1)/2^n x^n dx = (n+1)/2^n int_(a)^(b)x^n dx = (n+1)/2^n [x^(n+1)/(n+1)]_[a,b]=1/2^n[x^(n+1)]_(a,b) = (b^(n+1)-a^(n+1))/2^n $
quindi si ha che:
$int_([a,b]sub(-2,2)) sum_(n=1) (n+1)/2^n x^n dx= sum_(n=1) (b^(n+1)-a^(n+1))/2^n$
Problema1: come facciamo a trovare la somma di questa serie?
Problema2: e come faccio a trovare la somma della serie di partenza a partire da questa?
*suppongo che , siccome la serie di potenze converge totalmente in [a,b]--> io possa calcolare la $f(x)$ della serie di partenza "derivando rispetto ad x" la $f(x)$ := somma della serie degli integrali
Risposte
Ti direi più la prima opzione
$int sum_(n=1)^(infty) (n+1)/2^n*x^n dx=sum_(n=1)^(infty) int (n+1)/2^n*x^n dx=sum_(n=1)^(infty)x^(n+1)/2^n$
A questo punto possiamo scrivere
$sum_(n=1)^(infty)x^(n+1)/2^n=x*sum_(n=1)^(infty)(x/2)^n=x(-1+sum_(n=0)^(infty)(x/2)^n)=x(-1+1/(1-x/2))=x^2/(2-x)$
Ovviamente da questo risultato non è difficile rispondere all'ultima domanda.
$int sum_(n=1)^(infty) (n+1)/2^n*x^n dx=sum_(n=1)^(infty) int (n+1)/2^n*x^n dx=sum_(n=1)^(infty)x^(n+1)/2^n$
A questo punto possiamo scrivere
$sum_(n=1)^(infty)x^(n+1)/2^n=x*sum_(n=1)^(infty)(x/2)^n=x(-1+sum_(n=0)^(infty)(x/2)^n)=x(-1+1/(1-x/2))=x^2/(2-x)$
Ovviamente da questo risultato non è difficile rispondere all'ultima domanda.
Ciao CallistoBello,
Per il punto b), come spesso ti accade, la stai facendo più complicata di quello che è:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} (n+1)/2^n x^n = \sum_{n = 1}^{+\infty} (n+1) (x/2)^n = \sum_{n = 1}^{+\infty} (n+1) y^n $
dove ovviamente si è posto $y := x/2 $
Riesci a vedere cosa accade integrando termine a termine?
Per il punto b), come spesso ti accade, la stai facendo più complicata di quello che è:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} (n+1)/2^n x^n = \sum_{n = 1}^{+\infty} (n+1) (x/2)^n = \sum_{n = 1}^{+\infty} (n+1) y^n $
dove ovviamente si è posto $y := x/2 $
Riesci a vedere cosa accade integrando termine a termine?
[xdom="Mephlip"]@CallistoBello: Per favore, modifica il post scrivendo il testo anziché le immagini. Grazie.[/xdom]
"Mephlip":
[xdom="Mephlip"]@CallistoBello: Per favore, modifica il post scrivendo il testo anziché le immagini. Grazie.[/xdom]
fatto.
"ingres":
Ti direi più la prima opzione
$ int sum_(n=1)^(infty) (n+1)/2^n*x^n dx=sum_(n=1)^(infty) int (n+1)/2^n*x^n dx=sum_(n=1)^(infty)x^(n+1)/2^n $
A questo punto possiamo scrivere
$ sum_(n=1)^(infty)x^(n+1)/2^n=x*sum_(n=1)^(infty)(x/2)^n=x(-1+sum_(n=0)^(infty)(x/2)^n)=x(-1+1/(1-x/2))=x^2/(2-x) $
Ovviamente da questo risultato non è difficile rispondere all'ultima domanda.
Ok, hai portato fuori il termine $n=0$ della sommatoria, in modo tale da riconoscere una serie geometrica.
La ragione di questa serie geometrica è : $q=x/2$
Siccome stiamo ragionando $AA x in (-2,2)$ abbiamo che: il numeratore non sarà mai 2, dunque quella frazione non sarà mai 1. In particolare, si ha che: il numeratore è sempre più piccolo del denominatore--> ne consegue che quella $-1<(x/2)<1$.
Risultato: quella serie geometrica converge e converge ad $1/(1-x/2)$
Esplicitiamo la somma in parentesi tonde ed eseguiamo i calcoli.
Risultato: $F(x)= x^2/(2-x)$
c) La somma della serie di partenza è:
$f(x)=F'(x)=d/dx(x^2/(2-x))=-((x-4)x)/(2-x)^2$
Corretto?
"pilloeffe":
Ciao CallistoBello,
Per il punto b), come spesso ti accade, la stai facendo più complicata di quello che è:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} (n+1)/2^n x^n = \sum_{n = 1}^{+\infty} (n+1) (x/2)^n = \sum_{n = 1}^{+\infty} (n+1) y^n $
dove ovviamente si è posto $ y := x/2 $
Riesci a vedere cosa accade integrando termine a termine?
Ho provato a seguire il tuo suggerimento, ma questo mi ha condotto ad un fattore $1/2$ non presente nella risoluzione di ingres
Nello specifico:
$int sum_(n=1) (n+1)y^n = sum int (n+1)y^n dy = sum y^(n+1) = sum yy^n = y sum_(n=1) y^n = y(-1+sum_(n=0) y^n)= y(-1+1/(1-y))=y^2/(1-y)$
Esplicito la y nella variabile x:
$=x^2/4 2/(2-x) = 1/2 x^2/(2-x)$
"CallistoBello":
Corretto?
SI
"CallistoBello":
Ho provato a seguire il tuo suggerimento, ma questo mi ha condotto ad un fattore 1/2 non presente nella risoluzione di ingres
Perchè per scrivere l'integrale sostituendo la variabile $y=x/2$ devi tener conto che $dx=2*dy$
"ingres":
Perchè per scrivere l'integrale sostituendo la variabile y=x2 devi tener conto che dx=2⋅dy
Ah ok, in pratica ha effettuato il cambiamento di variabile: $y=x/2$, $dy=dx/2$
Tutto chiaro. Grazie mille ad entrambi
Grazie mille per la modifica!
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