Esercizio sulle serie di funzioni, risolto bene?

[Michele881]

Ciao ragazzi, sto facendo i primi esercizi sulle serie di funzioni, vorrei sapere se ho risolto bene il seguente:

Si studi la convergenza puntuale, uniforme e assoluta della serie
$\Sigma (-1)^n arctg(|x| / n)$

Convergenza puntuale:
La serie è a segni alterni e si verifica che è decrescente per ogni x -> Per il criterio di Leibniz, è convergente puntualmente.

Convergenza uniforme
si deve studiare il sup$|S_n(x) - S(x)| $ per $x in RR$
Per Leibniz sappiamo che $|S_n(x) - S(x)| < a_(n+1) (x) = arctg(|x|/(n+1))$ Quest'ultimo termine tende a zero per n -> infinito
Quindi sup$|S_n(x) - S(x)| $ -> 0 e si ha quindi convergenza uniforme in tutto $RR$

Convergenza Assoluta:
$\Sigma |(-1)^n arctg(|x| / n)| = \Sigma arctg(|x| / n)$ che è una serie a termini positivi

Per il confronto asintotico con $|x|/n$, la serie diverge.
Non c'è quindi convergenza assoluta.

Che ne dite? Va bene?

[Fioravante Patrone1]

"Michele88":Convergenza uniforme
si deve studiare il sup$|S_n(x) - S(x)| $ per $x in RR$
Per Leibniz sappiamo che $|S_n(x) - S(x)| < a_(n+1) (x) = arctg(|x|/(n+1))$ Quest'ultimo termine tende a zero per n -> infinito
Quindi sup$|S_n(x) - S(x)| $ -> 0 e si ha quindi convergenza uniforme in tutto $RR$

Attenzione, devi trovare i sup o un maggiorante del sup.
Tu hai ancora una $x$ tra i piedi.

Puoi fare una maggiorazione del tipo seguente, se cerchi una maggiorazione su un insieme limitato $I$:
- se $I$ è limitato, starà dentro un intervallo del tipo $[-K,K]$ ($K > 0$)
- sfrutti il fatto che $arctg(|x|/(n+1)) \le arctg(K/(n+1))$
E poi ci siamo.

[Michele881]

Quindi posso concludere che la convergenza è uniforme in ogni [-K , K] con K < 0?

[Fioravante Patrone1]

Sì.

Anzi, volendo, su ogni sottoinsieme di $RR$ che sia limitato perché, come dicevo, sarà contenuto in un opportuno [-K.K].
A maggior ragione, hai la convergenza uniforme su ogni intervallo limitato.