Esercizio sulle serie di fourier
i)Si calcoli la serie di fourier associata ad una funzione f(x): R-->R ottenuta prolungando per periodicità $f(x)=x^4$ con $x in (-pi,pi]$ e si discutano le proprietà di convergenza.
ii) Successivamente, usando l'uguaglianza: $ sum(1/n^2) =pi^2/6 $, trovare la somma della serie : $sum 1/n^4$
Non ho capito il secondo punto dell'esercizio.
Bisogna usare l'uguaglianza di parseval?
ii) Successivamente, usando l'uguaglianza: $ sum(1/n^2) =pi^2/6 $, trovare la somma della serie : $sum 1/n^4$
Non ho capito il secondo punto dell'esercizio.
Bisogna usare l'uguaglianza di parseval?
Risposte
Ciao CallistoBello,
Direi di no...
Se non ho fatto male i conti, per la funzione proposta lo sviluppo in serie di Fourier è il seguente:
$ \pi^4/5 + 8 \pi^2 \cdot \sum_{n = 1}^{+\infty} (- 1)^n/n^2 cos(nx) - 48 \cdot \sum_{n = 1}^{+\infty} (- 1)^n/n^4 cos(nx) $
Per $x = \pi $, considerando che $cos(n\pi) = (- 1)^n $, si ottiene:
$\pi^4 = \pi^4/5 + 8 \pi^2 \cdot \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^2 - 48 \cdot \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^4 \implies 48 \cdot \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^4 = \pi^4/5 - \pi^4 + 8 \pi^2 \cdot \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^2 \implies $
$ \implies 48 \cdot \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^4 = - (4\pi^4)/5 + 8 \pi^2 \cdot \pi^2/6 = - (4\pi^4)/5 + (4\pi^4)/3 = 8/15 \pi^4 $
Quindi in definitiva si ha:
[tex]\begin{equation*}
\boxed{\sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}}
\end{equation*}[/tex]
"CallistoBello":
Non ho capito il secondo punto dell'esercizio.
Bisogna usare l'uguaglianza di Parseval?
Direi di no...
Se non ho fatto male i conti, per la funzione proposta lo sviluppo in serie di Fourier è il seguente:
$ \pi^4/5 + 8 \pi^2 \cdot \sum_{n = 1}^{+\infty} (- 1)^n/n^2 cos(nx) - 48 \cdot \sum_{n = 1}^{+\infty} (- 1)^n/n^4 cos(nx) $
Per $x = \pi $, considerando che $cos(n\pi) = (- 1)^n $, si ottiene:
$\pi^4 = \pi^4/5 + 8 \pi^2 \cdot \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^2 - 48 \cdot \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^4 \implies 48 \cdot \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^4 = \pi^4/5 - \pi^4 + 8 \pi^2 \cdot \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^2 \implies $
$ \implies 48 \cdot \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^4 = - (4\pi^4)/5 + 8 \pi^2 \cdot \pi^2/6 = - (4\pi^4)/5 + (4\pi^4)/3 = 8/15 \pi^4 $
Quindi in definitiva si ha:
[tex]\begin{equation*}
\boxed{\sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}}
\end{equation*}[/tex]
Mi trovo con la serie di fourier.
DOMANDA1.
Non mi è chiaro cosa ti ha portato a valutare la serie di fourier proprio nel punto $x=pi$.
Da cosa lo si intuisce?
Dicevo perché in un esercizio simile nello specifico nel caso di:
$f(x)=x^2$ che per $x in (-pi,pi]$ si sviluppa come:
$f(x)=1/3 pi^2+sum (-1)^n 4/n^2 cos(nx)$
Utilizzando l'uguaglianza: $1/2T int_(-T/2)^(T/2) [f(x)]^2dx=1/2a_0^2+sum (a_n^2+b_n^2)$
sono riuscito ad ottenere:
$sum 1/n^4 =pi^4/90$
DOMANDA2.
Come faccio a capire in questa tipologia di esercizio,
quando bisogna applicare l'uguaglianza di parseval e quando invece mi basta valutare la serie in un punto?
DOMANDA1.
Non mi è chiaro cosa ti ha portato a valutare la serie di fourier proprio nel punto $x=pi$.
Da cosa lo si intuisce?
"pilloeffe":
Direi di no...
Dicevo perché in un esercizio simile nello specifico nel caso di:
$f(x)=x^2$ che per $x in (-pi,pi]$ si sviluppa come:
$f(x)=1/3 pi^2+sum (-1)^n 4/n^2 cos(nx)$
Utilizzando l'uguaglianza: $1/2T int_(-T/2)^(T/2) [f(x)]^2dx=1/2a_0^2+sum (a_n^2+b_n^2)$
sono riuscito ad ottenere:
$sum 1/n^4 =pi^4/90$
DOMANDA2.
Come faccio a capire in questa tipologia di esercizio,
quando bisogna applicare l'uguaglianza di parseval e quando invece mi basta valutare la serie in un punto?
"CallistoBello":
DOMANDA1.
Non mi è chiaro cosa ti ha portato a valutare la serie di Fourier proprio nel punto $x=\pi$.
Da cosa lo si intuisce?
Beh, il primo indizio è proprio dove è definita la funzione, infatti
"CallistoBello":
$f(x)=x^4 $ con $x \in (−\pi,\pi]$
Questo fa propendere parecchio per vedere cosa accade per $x = \pi $...
"CallistoBello":
DOMANDA2.
Come faccio a capire in questa tipologia di esercizio, quando bisogna applicare l'uguaglianza di Parseval e quando invece mi basta valutare la serie in un punto?
Beh, qui era piuttosto evidente che la serie richiesta si otteneva facendo in modo che il $(- 1)^n $ al numeratore diventi un $1$ e questo può accadere solo se $cos(nx) = (- 1)^n $ e cioè proprio per $x = \pi $
Chiaro.
A)Il punto in cui valutare la serie di fourier per ottenere la somma di una serie numerica
1.deve appartenere al dominio della funzione sviluppata
2. dev'essere tale da: ricondurre il termine generale della serie di fourier a quello della serie numerica
(o comunque far apparire quel termine generale della serie numerica nella nostra serie di fourier)
B)
Qualora la situazione non ci suggerisca nessun punto interessante,
l'unica alternativa è l'uguaglianza di parseval.
A)Il punto in cui valutare la serie di fourier per ottenere la somma di una serie numerica
1.deve appartenere al dominio della funzione sviluppata
2. dev'essere tale da: ricondurre il termine generale della serie di fourier a quello della serie numerica
(o comunque far apparire quel termine generale della serie numerica nella nostra serie di fourier)
B)
Qualora la situazione non ci suggerisca nessun punto interessante,
l'unica alternativa è l'uguaglianza di parseval.
Ottimo riassunto!
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